Это проценты, которые начисляются «на проценты»: каждый год банк считает прибыль уже от выросшей суммы. Разберём формулу наращения и чем это выгоднее простых процентов.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →$1\%$ — это сотая часть числа. Чтобы найти $p\%$ от числа $A$, умножаем на $\dfrac{p}{100}$:
$10\%$ от $5000$ руб. $= 5000 \cdot 0{,}1 = 500$ руб.
Увеличить число на $10\%$ — умножить на $1{,}1$ (это $100\% + 10\%$).
Каждый год начисляется один и тот же доход — процент считается всегда от первоначальной суммы.
Вклад $10\,000$ руб. под $10\%$ простых годовых. Каждый год добавляется $1000$ руб.: через год $11\,000$, через два $12\,000$, через три $13\,000$.
Каждый год процент начисляется на уже выросшую сумму — «проценты на проценты».
Раз каждый год сумма умножается на коэффициент роста $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$, за $n$ лет получаем формулу наращения:
Здесь $A$ — начальная сумма, $p$ — процент в год, $n$ — число лет, $S$ — итоговая сумма.
Вклад $10\,000$ руб. под $10\%$ сложных годовых на $3$ года.
Коэффициент роста: $1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}1$.
Год 1: $10\,000 \cdot 1{,}1 = 11\,000$.
Год 2: $11\,000 \cdot 1{,}1 = 12\,100$.
Год 3: $12\,100 \cdot 1{,}1 = 13\,310$.
Или сразу: $S = 10\,000 \cdot 1{,}1^{3} = 13\,310$ руб.
Доход (прибыль, проценты) — это разница между итоговой и начальной суммой:
В предыдущем примере итог $13\,310$, вложили $10\,000$.
Доход $= 13\,310 - 10\,000 = 3310$ руб.
Сравним вклад $10\,000$ руб. под $10\%$ за $3$ года:
| Год | Простые | Сложные |
|---|---|---|
| 1 | 11 000 | 11 000 |
| 2 | 12 000 | 12 100 |
| 3 | 13 000 | 13 310 |
Сложные проценты дают больше — на $310$ руб. за три года. Чем больше срок, тем заметнее разрыв.
Числа и вычисления — фундамент всей первой части ОГЭ. Натренируешь их — и проценты, дроби и практические задачи перестанут «съедать» баллы.