Домашняя работа · Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — домашняя работа
Четыре блока: знаменатель и член, формула $n$-го члена, сумма
и характеристическое свойство. Сначала решите сами,
затем нажмите «Показать решение».
Как выполнять
Инструкция
- Знаменатель: $q = b_{n+1} : b_n$ (делим, а не вычитаем).
- $n$-й член: $b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$ — умножаем $(n-1)$ раз.
- Сумма ($q \ne 1$): $S_n = \dfrac{b_1(q^{\,n}-1)}{q-1}$.
- Свойство: $b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}$.
- Решение под каждой задачей спрятано: открывайте его после своей попытки.
Нужна теория? Открыть конспект «Геометрическая прогрессия» →
Блок 1
Знаменатель и член база
$q = b_{n+1} : b_n$.
1.1Найдите знаменатель прогрессии $3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \ldots$
Показать решение
$q = 6 : 3 = 2$.
Ответ: $2$
1.2Найдите знаменатель прогрессии $48,\ 24,\ 12,\ \ldots$
Показать решение
$q = 24 : 48 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.
Ответ: $0{,}5$
1.3$b_1 = 5$, $q = 3$. Найдите $b_2$ и $b_3$.
Показать решение
$b_2 = 15$, $b_3 = 45$.
Ответ: $15$ и $45$
1.4Найдите знаменатель прогрессии $2,\ -6,\ 18,\ \ldots$
Показать решение
$q = -6 : 2 = -3$.
Ответ: $-3$
Блок 2
Формула n-го члена средне
$b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$.
2.1$b_1 = 2$, $q = 3$. Найдите $b_5$.
Показать решение
$b_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$.
Ответ: $162$
2.2$b_1 = 1$, $q = 2$. Найдите $b_8$.
Показать решение
$b_8 = 1 \cdot 2^7 = 128$.
Ответ: $128$
2.3$b_1 = 5$, $q = 2$. Найдите $b_4$.
Показать решение
$b_4 = 5 \cdot 2^3 = 40$.
Ответ: $40$
2.4$b_1 = 3$, $q = -2$. Найдите $b_4$.
Показать решение
$b_4 = 3 \cdot (-2)^3 = 3 \cdot (-8) = -24$.
Ответ: $-24$
Блок 3
Сумма членов средне
$S_n = \dfrac{b_1(q^{\,n}-1)}{q-1}$.
3.1$b_1 = 2$, $q = 3$. Найдите сумму первых $4$ членов.
Показать решение
$S_4 = \dfrac{2(81 - 1)}{2} = 80$. Проверка: $2+6+18+54=80$.
Ответ: $80$
3.2$b_1 = 1$, $q = 2$. Найдите сумму первых $5$ членов.
Показать решение
$S_5 = \dfrac{1(32 - 1)}{1} = 31$. Проверка: $1+2+4+8+16=31$.
Ответ: $31$
3.3$b_1 = 3$, $q = 2$. Найдите сумму первых $4$ членов.
Показать решение
$S_4 = \dfrac{3(16 - 1)}{1} = 45$. Проверка: $3+6+12+24=45$.
Ответ: $45$
3.4$b_1 = 5$, $q = 1$. Найдите сумму первых $6$ членов.
Показать решение
При $q = 1$ все члены равны $5$: $S_6 = 5 \cdot 6 = 30$.
Ответ: $30$
Блок 4
Свойство сложнее
$b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}$.
4.1В прогрессии $\ldots,\ 4,\ x,\ 9,\ \ldots$ найдите положительный средний член $x$.
Показать решение
$x^2 = 4 \cdot 9 = 36$ → $x = 6$.
Ответ: $6$
4.2$\ldots,\ 2,\ x,\ 8,\ \ldots$ — найдите положительный $x$.
Показать решение
$x^2 = 2 \cdot 8 = 16$ → $x = 4$.
Ответ: $4$
4.3$b_1 = 4$, $b_3 = 16$. Найдите положительный знаменатель $q$.
Показать решение
$b_3 = b_1 q^2$: $16 = 4q^2$ → $q^2 = 4$ → $q = 2$.
Ответ: $2$
4.4$b_2 = 6$, $b_4 = 54$. Найдите положительный знаменатель $q$.
Показать решение
$\dfrac{b_4}{b_2} = q^2 = \dfrac{54}{6} = 9$ → $q = 3$.
Ответ: $3$
Проверьте себя на тесте
Когда разобрались с домашней работой — пройдите тест с автопроверкой
и посмотрите свой результат.