Кубические уравнения и уравнения четвёртой степени выглядят страшно, но решаются одной идеей: разложить на множители — и вместо одного сложного уравнения получить несколько простых.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Уравнение, в котором неизвестное возводится в степень выше второй: $x^3$, $x^4$ и так далее. Например, $x^3 - 4x = 0$ или $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Готовой формулы корней (как дискриминант для квадратных) здесь в школе нет. Зато есть надёжный план:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x(x - 3)(x + 2) = 0$. Произведение трёх множителей равно нулю:
$x = 0$, или $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$, или $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
Ответ: $x = -2$, $x = 0$, $x = 3$ — три корня без всяких формул!
Если в каждом слагаемом есть $x$ — выносим его за скобку. Это самый частый приём для уравнений вида $x^3 + bx^2 + cx = 0$.
Решим $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$.
1) Выносим $x$: $x(x^2 - 5x + 6) = 0$.
2) Произведение равно нулю: $x = 0$ или $x^2 - 5x + 6 = 0$.
3) Квадратное уравнение: $D = 25 - 24 = 1$, корни $x = 2$ и $x = 3$
(или по Виету: сумма $5$, произведение $6$).
Ответ: $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$.
Если общего множителя у всех слагаемых нет, часто помогает группировка: разбиваем четыре слагаемых на две пары и выносим множитель из каждой пары.
Решим $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$.
1) Группируем: $(x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0$.
2) Из первой пары выносим $x^2$, из второй $9$:
$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$.
3) В обеих группах появилась одинаковая скобка $(x-2)$ — выносим её:
$(x - 2)(x^2 - 9) = 0$.
4) $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ — разность квадратов.
5) $(x-2)(x-3)(x+3) = 0$ → корни $x = 2$, $x = 3$, $x = -3$.
Для уравнений вида $x^4 + bx^3 + cx^2 = 0$ работает тот же приём — только выносим уже $x^2$:
$x^4 - x^3 - 6x^2 = 0$.
Выносим $x^2$: $x^2(x^2 - x - 6) = 0$.
$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$; $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ и $x = -2$.
Ответ: $x = -2$, $x = 0$, $x = 3$.
А уравнения вида $x^4 + bx^2 + c = 0$ (без нечётных степеней) называются биквадратными — они решаются заменой $t = x^2$. Это отдельная тема, разберём её в следующем конспекте.
Любой найденный корень легко проверить — подставь его в исходное уравнение и убедись, что получается ноль.
Является ли $x = 2$ корнем уравнения $x^3 - 3x^2 + 2x = 0$?
Подставляем: $8 - 12 + 4 = 0$ — да, является.
Уравнения и текстовые задачи — ядро ОГЭ. Здесь важно не просто знать метод, а доводить решение до верного ответа без потери знаков и условий.