Математика 7–9 класс /
Алгебра 9 класс /
Уравнения высших степеней /
Домашняя работа
Домашняя работа · Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней — домашняя работа
Четыре блока: произведение равно нулю, вынесение общего множителя,
метод группировки и задачи на анализ корней. Сначала решите сами,
затем нажмите «Показать решение».
Как выполнять
Инструкция
Произведение равно нулю — приравниваем к нулю каждый множитель.
Есть $x$ в каждом слагаемом — выносим $x$ (или $x^2$) за скобку.
Четыре слагаемых — пробуем группировку: две пары → общая скобка.
Никогда не делим обе части на $x$ — потеряется корень $x = 0$.
Решение под каждой задачей спрятано: открывайте его после своей попытки.
Показать все решения
Скрыть все решения
Нужна теория? Открыть конспект «Уравнения высших степеней» →
Блок 1
Произведение равно нулю база
Каждый множитель приравниваем к нулю.
1.1 Решите уравнение $x(x - 3)(x + 2) = 0$.
Показать решение $x = 0$, или $x - 3 = 0$, или $x + 2 = 0$.Ответ: $x = -2$, $x = 0$, $x = 3$
1.2 Решите уравнение $(x - 5)(x + 1)(x - 1) = 0$.
Показать решение Три множителя — три корня: $5$, $-1$, $1$.Ответ: $x = -1$, $x = 1$, $x = 5$
1.3 Решите уравнение $x^2(x + 4) = 0$.
Показать решение $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (один корень); $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.Ответ: $x = -4$, $x = 0$
1.4 Решите уравнение $(x - 2)(x^2 + 1) = 0$.
Показать решение $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. А $x^2 + 1 = 0$ корней не имеет: $x^2 = -1$ невозможно.Ответ: $x = 2$
Блок 2
Вынесение множителя средне
Выносим $x$ или $x^2$, дальше — квадратное уравнение.
2.1 Решите уравнение $x^3 - 4x = 0$.
Показать решение $x(x^2 - 4) = 0$, то есть $x(x-2)(x+2) = 0$.Ответ: $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$
2.2 Решите уравнение $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$.
Показать решение $x(x^2 - 5x + 6) = 0$. Квадратное: корни $2$ и $3$ (Виет: сумма $5$, произведение $6$).Ответ: $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$
2.3 Решите уравнение $x^3 + 3x^2 - 4x = 0$.
Показать решение $x(x^2 + 3x - 4) = 0$. Квадратное: $x = 1$ и $x = -4$.Ответ: $x = -4$, $x = 0$, $x = 1$
2.4 Решите уравнение $x^4 - 9x^2 = 0$.
Показать решение $x^2(x^2 - 9) = 0$, то есть $x^2(x-3)(x+3) = 0$.Ответ: $x = -3$, $x = 0$, $x = 3$
Блок 3
Метод группировки сложнее
Две пары → одинаковая скобка → произведение.
3.1 Решите уравнение $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$.
Показать решение $x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$ → $(x-2)(x^2 - 9) = 0$ → $(x-2)(x-3)(x+3) = 0$.Ответ: $x = -3$, $x = 2$, $x = 3$
3.2 Решите уравнение $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$.
Показать решение $x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$ → $(x+1)(x^2 - 4) = 0$ → $(x+1)(x-2)(x+2) = 0$.Ответ: $x = -2$, $x = -1$, $x = 2$
3.3 Решите уравнение $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$.
Показать решение $x^2(x - 5) - (x - 5) = 0$ → $(x-5)(x^2 - 1) = 0$ → $(x-5)(x-1)(x+1) = 0$.Ответ: $x = -1$, $x = 1$, $x = 5$
3.4 Решите уравнение $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$.
Показать решение $x^2(x + 3) - (x + 3) = 0$ → $(x+3)(x^2 - 1) = 0$ → $(x+3)(x-1)(x+1) = 0$.Ответ: $x = -3$, $x = -1$, $x = 1$
Блок 4
Анализ корней сложнее
Сколько корней, проверка корня, наибольший корень.
4.1 Сколько различных корней имеет уравнение $x^3 - 16x = 0$?
Показать решение $x(x-4)(x+4) = 0$ — корни $0$, $4$, $-4$.Ответ: $3$
4.2 Является ли число $2$ корнем уравнения $x^3 - 3x^2 + 2x = 0$? (да/нет)
Показать решение Подставляем: $8 - 12 + 4 = 0$ — верно.Ответ: да
4.3 Найдите наибольший корень уравнения $x^3 - 7x^2 + 10x = 0$.
Показать решение $x(x^2 - 7x + 10) = 0$ → $x(x-2)(x-5) = 0$ — корни $0$, $2$, $5$.Ответ: $5$
4.4 Найдите произведение ненулевых корней уравнения $x^3 - x^2 - 6x = 0$.
Показать решение $x(x^2 - x - 6) = 0$ → $x(x-3)(x+2) = 0$ — ненулевые корни $3$ и $-2$; произведение $-6$.Ответ: $-6$
↑ Наверх
Проверьте себя на тесте
Когда разобрались с домашней работой — пройдите тест с автопроверкой
и посмотрите свой результат.