Функция $y = ax^2 + bx + c$ — главная героиня 9 класса. Её график — парабола. Разберём, куда смотрят ветви, где вершина, как найти пересечения с осями и наибольшее или наименьшее значение.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Это функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a \ne 0$, а $b$ и $c$ — любые числа. Главное условие: при $x^2$ обязательно стоит ненулевой коэффициент $a$.
У каждой буквы своя роль:
$y = 2x^2 - 5x + 3$: здесь $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$.
$y = -x^2 + 4$: здесь $a = -1$, $b = 0$, $c = 4$ — это тоже квадратичная функция.
А вот $y = 3x + 1$ — нет: в ней нет $x^2$ (то есть $a = 0$).
График квадратичной функции — парабола. Куда смотрят её ветви, решает знак коэффициента $a$:
| Коэффициент | Ветви | Как запомнить |
|---|---|---|
| $a > 0$ | вверх ∪ | «плюс — улыбка» |
| $a < 0$ | вниз ∩ | «минус — грустная» |
$y = -3x^2 + x - 7$: коэффициент $a = -3 < 0$, значит ветви направлены вниз.
Вершина — самая нижняя точка параболы при $a>0$ (или самая верхняя при $a<0$). Её абсцисса считается по формуле:
Ординату вершины $y_0$ находим подстановкой: $y_0 = y(x_0)$. Через вершину проходит вертикальная ось симметрии $x = x_0$: левая и правая половины параболы — зеркальные.
$y = x^2 - 6x + 5$. Вершина: $x_0 = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1} = 3$; $y_0 = 3^2 - 6\cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина $(3;\ -4)$, ось симметрии $x = 3$.
На оси $Oy$ всегда $x = 0$. Подставим: $y = a\cdot 0 + b \cdot 0 + c = c$. Значит график пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\ c)$ — это просто свободный член!
$y = 2x^2 - 7x + 6$ пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\ 6)$.
На оси $Ox$ всегда $y = 0$, поэтому решаем уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Сколько корней — столько и точек пересечения:
| Дискриминант | Корней | Парабола и ось Ox |
|---|---|---|
| $D > 0$ | два | пересекает в двух точках |
| $D = 0$ | один | касается в одной точке (вершиной) |
| $D < 0$ | нет | не пересекает вовсе |
$y = x^2 - 6x + 5$: решаем $x^2 - 6x + 5 = 0$, $D = 36 - 20 = 16$, корни $x = \dfrac{6 \pm 4}{2}$, то есть $x = 1$ и $x = 5$. Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(1;\ 0)$ и $(5;\ 0)$.
Самое «крайнее» значение функция принимает в вершине:
$y = -x^2 + 4x - 1$. Здесь $a = -1 < 0$ — ветви вниз, значит ищем наибольшее: $x_0 = -\dfrac{4}{2\cdot(-1)} = 2$, $y_0 = -4 + 8 - 1 = 3$. Наибольшее значение функции равно $3$.
Иногда функцию записывают в виде с выделенной вершиной:
Такой вид получается из обычного выделением полного квадрата. Читать его легко: парабола $y = ax^2$ сдвинута на $m$ вправо и на $n$ вверх.
$y = (x - 2)^2 + 3$: вершина $(2;\ 3)$, ветви вверх.
$y = -(x + 1)^2 - 4$: внутри скобки $x - (-1)$, значит $m = -1$;
вершина $(-1;\ -4)$, ветви вниз.
Чтобы построить параболу, хватает пяти шагов:
Построим $y = x^2 - 4x + 3$.
1) $a = 1 > 0$ — ветви вверх.
2) Вершина: $x_0 = \dfrac{4}{2} = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$ → точка $(2;\ -1)$.
3) Ось $Oy$: точка $(0;\ 3)$.
4) $x^2 - 4x + 3 = 0$: $D = 16 - 12 = 4$, корни $x = 1$ и $x = 3$ → точки $(1;\ 0)$, $(3;\ 0)$.
5) Точке $(0;\ 3)$ симметрична точка $(4;\ 3)$. Соединяем плавной кривой — готово!
Функции и графики — это задание на соответствие в ОГЭ. Научишься читать график и формулу — получишь быстрый балл почти без вычислений.