Домашняя работа · Квадратичная функция

Квадратичная функция — домашняя работа

Четыре блока: ветви и вершина, значения функции, пересечения с осями, наибольшее и наименьшее значение. Сначала решите сами, затем нажмите «Показать решение».

Как выполнять

Инструкция

Направление ветвей — по знаку $a$: плюс — вверх, минус — вниз.
Вершина: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, затем $y_0 = y(x_0)$ подстановкой.
Ось $Oy$ — точка $(0;\ c)$; ось $Ox$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.
Наибольшее/наименьшее значение — это $y_0$ в вершине.
Решение под каждой задачей спрятано: открывайте его после своей попытки.

Нужна теория? Открыть конспект «Квадратичная функция» →

Содержание

1 Ветви и вершина 2 Значения функции 3 Пересечения с осями 4 Наибольшее и наименьшее

Блок 1

Ветви и вершина база

Знак $a$ и формула $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

1.1Куда направлены ветви параболы $y = 3x^2 - 5x + 1$?

Показать решение

$a = 3 > 0$ — ветви вверх.
Ответ: вверх

1.2Куда направлены ветви параболы $y = -x^2 + 6x$?

Показать решение

$a = -1 < 0$ — ветви вниз.
Ответ: вниз

1.3Найдите абсциссу вершины параболы $y = x^2 - 8x + 3$.

Показать решение

$x_0 = -\dfrac{-8}{2 \cdot 1} = \dfrac{8}{2} = 4$.
Ответ: $4$

1.4Найдите координаты вершины параболы $y = x^2 + 6x + 5$.

Показать решение

$x_0 = -\dfrac{6}{2} = -3$; $y_0 = (-3)^2 + 6\cdot(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Ответ: $(-3;\ -4)$

Блок 2

Значения функции база

Подставляем $x$ — аккуратно со знаками.

2.1$y = x^2 - 4x + 1$. Найдите $y$ при $x = 3$.

Показать решение

$y = 9 - 12 + 1 = -2$.
Ответ: $-2$

2.2$y = 2x^2 + x - 5$. Найдите $y$ при $x = -2$.

Показать решение

$y = 2\cdot 4 + (-2) - 5 = 8 - 2 - 5 = 1$.
Ответ: $1$

2.3$y = -x^2 + 3x$. Найдите $y$ при $x = -1$.

Показать решение

$y = -(-1)^2 + 3\cdot(-1) = -1 - 3 = -4$.
Ответ: $-4$

2.4Принадлежит ли точка $(2;\ 1)$ графику $y = x^2 - 2x + 1$? (да/нет)

Показать решение

$y(2) = 4 - 4 + 1 = 1$ — совпадает. Точка принадлежит графику.
Ответ: да

Блок 3

Пересечения с осями средне

$Oy$ — это $(0;\ c)$; $Ox$ — корни уравнения.

3.1В какой точке график $y = x^2 - 5x + 7$ пересекает ось $Oy$?

Показать решение

При $x = 0$: $y = c = 7$.
Ответ: $(0;\ 7)$

3.2Найдите абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2 - 6x + 8$ с осью $Ox$.

Показать решение

$x^2 - 6x + 8 = 0$: $D = 36 - 32 = 4$, $x = \dfrac{6 \pm 2}{2}$ → $x = 2$ и $x = 4$.
Ответ: $2$ и $4$

3.3Сколько точек пересечения с осью $Ox$ у параболы $y = x^2 + 2x + 5$?

Показать решение

$D = 4 - 20 = -16 < 0$ — корней нет, пересечений нет.
Ответ: $0$

3.4Парабола $y = x^2 - 2x + 1$ касается оси $Ox$. В какой точке?

Показать решение

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ → $x = 1$. Точка касания $(1;\ 0)$.
Ответ: $(1;\ 0)$

Блок 4

Наибольшее и наименьшее сложнее

Ответ всегда $y_0$ — значение в вершине.

4.1Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 - 4x + 7$.

Показать решение

$a = 1 > 0$ — есть наименьшее. $x_0 = \dfrac{4}{2} = 2$; $y_0 = 4 - 8 + 7 = 3$.
Ответ: $3$

4.2Найдите наибольшее значение функции $y = -x^2 + 6x - 4$.

Показать решение

$a = -1 < 0$ — есть наибольшее. $x_0 = -\dfrac{6}{-2} = 3$; $y_0 = -9 + 18 - 4 = 5$.
Ответ: $5$

4.3При каком $x$ функция $y = x^2 + 2x - 3$ принимает наименьшее значение?

Показать решение

Спрашивают про $x$, а не про $y$! $x_0 = -\dfrac{2}{2} = -1$.
Ответ: $-1$

4.4Найдите вершину параболы $y = (x - 4)^2 - 5$ и её наименьшее значение.

Показать решение

Вид $y = a(x-m)^2+n$: вершина $(4;\ -5)$, ветви вверх → наименьшее значение $-5$.
Ответ: вершина $(4;\ -5)$, наименьшее $-5$

↑ Наверх

Квадратичная функция — домашняя работа

Инструкция

Ветви и вершина база

Значения функции база

Пересечения с осями средне

Наибольшее и наименьшее сложнее

Проверьте себя на тесте