Уравнения, где неизвестное стоит в знаменателе. Решаются в два шага: записать ОДЗ и избавиться от дробей. А в конце — обязательно проверить корни: посторонние выбрасываем.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Уравнение, в котором неизвестное входит в знаменатель дроби. Например: $\dfrac{x+3}{x-2} = 2$ или $x + \dfrac{6}{x} = 5$.
На ноль делить нельзя, поэтому первым делом записываем ОДЗ — область допустимых значений: все знаменатели не равны нулю.
Для уравнения $\dfrac{x+3}{x-2} = 2$ ОДЗ: $x - 2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$.
Для $x + \dfrac{6}{x} = 5$ ОДЗ: $x \ne 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Знаменатель на ответ не влияет, но следит, чтобы корень был допустимым.
$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$. Числитель: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.
Но ОДЗ: $x \ne -1$. Корень $x = -1$ — посторонний.
Ответ: $x = 1$.
Если дробь равна числу — умножаем обе части на знаменатель (помня про ОДЗ) и решаем линейное уравнение.
Решим $\dfrac{x+3}{x-2} = 2$.
1) ОДЗ: $x \ne 2$.
2) Умножаем на $(x-2)$: $x + 3 = 2(x - 2)$.
3) $x + 3 = 2x - 4$ → $x = 7$.
4) Проверка ОДЗ: $7 \ne 2$ — подходит. Ответ: $x = 7$.
Если дробь равна дроби — работает правило пропорции: произведения «крест-накрест» равны.
Решим $\dfrac{3}{x-1} = \dfrac{2}{x-2}$.
1) ОДЗ: $x \ne 1$, $x \ne 2$.
2) Крест-накрест: $3(x-2) = 2(x-1)$.
3) $3x - 6 = 2x - 2$ → $x = 4$.
4) $4 \ne 1$ и $4 \ne 2$ — подходит. Ответ: $x = 4$.
Уравнения вида $x + \dfrac{a}{x} = s$ после умножения на $x$ превращаются в квадратные:
Решим $x + \dfrac{6}{x} = 5$.
1) ОДЗ: $x \ne 0$.
2) Умножаем на $x$: $x^2 + 6 = 5x$, то есть $x^2 - 5x + 6 = 0$.
3) По Виету: $x = 2$ и $x = 3$ (сумма $5$, произведение $6$).
4) Оба не равны нулю — оба подходят. Ответ: $x = 2$, $x = 3$.
Главная ловушка темы. Когда мы умножаем уравнение на знаменатель, могут появиться корни, которых у исходного уравнения не было — те, что обнуляют знаменатель.
Решим $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 0$.
1) ОДЗ: $x \ne 2$.
2) Числитель: $x^2 - 5x + 6 = 0$ → $x = 2$ и $x = 3$.
3) Но $x = 2$ не входит в ОДЗ — посторонний корень, выбрасываем.
Ответ: $x = 3$ — единственный корень.
Уравнения и текстовые задачи — ядро ОГЭ. Здесь важно не просто знать метод, а доводить решение до верного ответа без потери знаков и условий.