Домашняя работа · Дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональные уравнения — домашняя работа
Четыре блока: дробь равна числу, крест-накрест, сведение к квадратному
и посторонние корни. Сначала решите сами, затем нажмите «Показать решение».
Как выполнять
Инструкция
- Первым делом — ОДЗ: все знаменатели $\ne 0$.
- Дробь равна нулю ⟺ числитель равен нулю (и ОДЗ выполнено).
- Дробь = дроби — перемножаем крест-накрест.
- В конце сверяем корни с ОДЗ — посторонние выбрасываем.
- Решение под каждой задачей спрятано: открывайте его после своей попытки.
Нужна теория? Открыть конспект «Дробно-рациональные уравнения» →
Блок 1
Дробь равна числу база
ОДЗ, умножаем на знаменатель, решаем линейное.
1.1Решите уравнение $\dfrac{x+3}{x-2} = 2$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 2$. $x + 3 = 2(x-2) = 2x - 4$ → $x = 7$. $7 \ne 2$ ✓
Ответ: $7$
1.2Решите уравнение $\dfrac{x+4}{x-2} = 3$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 2$. $x + 4 = 3x - 6$ → $2x = 10$ → $x = 5$. ✓
Ответ: $5$
1.3Решите уравнение $\dfrac{x+1}{x-1} = 3$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 1$. $x + 1 = 3x - 3$ → $2x = 4$ → $x = 2$. ✓
Ответ: $2$
1.4Решите уравнение $\dfrac{x-1}{x+2} = 2$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne -2$. $x - 1 = 2x + 4$ → $x = -5$. $-5 \ne -2$ ✓
Ответ: $-5$
Блок 2
Крест-накрест средне
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad = cb$.
2.1Решите уравнение $\dfrac{3}{x-1} = \dfrac{2}{x-2}$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 1$, $x \ne 2$. $3(x-2) = 2(x-1)$ → $3x - 6 = 2x - 2$ → $x = 4$. ✓
Ответ: $4$
2.2Решите уравнение $\dfrac{5}{x+1} = \dfrac{3}{x-1}$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne \pm 1$. $5(x-1) = 3(x+1)$ → $5x - 5 = 3x + 3$ → $x = 4$. ✓
Ответ: $4$
2.3Решите уравнение $\dfrac{2}{x-3} = \dfrac{4}{x+1}$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 3$, $x \ne -1$. $2(x+1) = 4(x-3)$ → $2x + 2 = 4x - 12$ → $x = 7$. ✓
Ответ: $7$
2.4Решите уравнение $\dfrac{6}{x+2} = \dfrac{3}{x-1}$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne -2$, $x \ne 1$. $6(x-1) = 3(x+2)$ → $6x - 6 = 3x + 6$ → $x = 4$. ✓
Ответ: $4$
Блок 3
Сведение к квадратному средне
$x + \dfrac{a}{x} = s$: умножаем на $x$ (ОДЗ $x \ne 0$).
3.1Решите уравнение $x + \dfrac{6}{x} = 5$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 0$. $x^2 - 5x + 6 = 0$ → $x = 2$, $x = 3$ (Виет). Оба $\ne 0$ ✓
Ответ: $2$ и $3$
3.2Решите уравнение $x - \dfrac{12}{x} = 1$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 0$. $x^2 - x - 12 = 0$ → $x = 4$, $x = -3$. ✓
Ответ: $-3$ и $4$
3.3Решите уравнение $x + \dfrac{4}{x} = -5$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 0$. $x^2 + 5x + 4 = 0$ → $x = -1$, $x = -4$. ✓
Ответ: $-4$ и $-1$
3.4Решите уравнение $x - \dfrac{2}{x} = 1$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 0$. $x^2 - x - 2 = 0$ → $x = 2$, $x = -1$. ✓
Ответ: $-1$ и $2$
Блок 4
Посторонние корни сложнее
Числитель = 0, но корень обязан пройти ОДЗ.
4.1Решите уравнение $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 2$. Числитель: $x = \pm 2$. Корень $x = 2$ посторонний.
Ответ: $-2$
4.2Решите уравнение $\dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 0$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 3$. Числитель: $(x-3)(x+2) = 0$ → $x = 3$ или $x = -2$. Тройка не проходит ОДЗ.
Ответ: $-2$
4.3Решите уравнение $\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$.
Показать решение
ОДЗ: $x \ne -1$. Числитель: $x = \pm 1$. Минус единица посторонняя.
Ответ: $1$
4.4Сколько корней имеет уравнение $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 0$?
Показать решение
ОДЗ: $x \ne 2$. Числитель: $x = 2$ и $x = 3$. Двойка отбрасывается — остаётся один корень $x = 3$.
Ответ: $1$
Проверьте себя на тесте
Когда разобрались с домашней работой — пройдите тест с автопроверкой
и посмотрите свой результат.