Алгебра 9 класс · Теория

★ База для ОГЭ

Системы с квадратным уравнением

В 7 классе системы были линейными, теперь в них появляется квадрат. Главный инструмент остался прежним — подстановка, а для систем «сумма и произведение» отлично работает теорема Виета.

Пройти тему целиком

Системы с квадратным уравнением

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Что изменилось по сравнению с 7 классом 2 Метод подстановки 3 Парабола и прямая 4 Сумма и произведение: Виет 5 Сумма квадратов 6 Как записывать ответ 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка

Раздел 1

Что изменилось по сравнению с 7 классом

Система — это по-прежнему два уравнения с двумя неизвестными, и решить её — значит найти все пары $(x;\ y)$, подходящие в оба уравнения сразу. Новое одно: хотя бы одно из уравнений теперь второй степени.

Пример

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$ — система с квадратным уравнением.

Из-за квадрата решений обычно два (а не одно, как у линейных систем): прямая пересекает параболу в двух точках.

Раздел 2

Метод подстановки

План тот же, что в 7 классе, только в конце решаем квадратное уравнение:

Выражаем одну переменную из более простого уравнения.
Подставляем во второе уравнение — получается квадратное с одной переменной.
Решаем его: находим (обычно) два значения.
Для каждого значения находим вторую переменную.
Записываем ответ парами.

Пример с полным решением

$\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 6 \end{cases}$
1) Из первого: $x = y + 1$.
2) Подставляем: $(y+1)\,y = 6$, то есть $y^2 + y - 6 = 0$.
3) Корни: $y = 2$ и $y = -3$.
4) Если $y = 2$, то $x = 3$; если $y = -3$, то $x = -2$.
Ответ: $(3;\ 2)$ и $(-2;\ -3)$.

Раздел 3

Парабола и прямая

Классика: $y = x^2$ и $y = kx + b$. Оба уравнения уже выражены через $y$ — приравниваем правые части:

$x^2 = kx + b \;\Rightarrow\; x^2 - kx - b = 0$

Пример с полным решением

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$
1) $x^2 = x + 2$ → $x^2 - x - 2 = 0$.
2) Корни: $x = 2$ и $x = -1$.
3) $y = x^2$: при $x = 2$ будет $y = 4$; при $x = -1$ будет $y = 1$.
Ответ: $(2;\ 4)$ и $(-1;\ 1)$ — две точки пересечения параболы и прямой.

Геометрический смысл: решения системы — это точки пересечения графиков. $D > 0$ — две точки, $D = 0$ — прямая касается параболы, $D < 0$ — не пересекаются.

Раздел 4

Сумма и произведение: Виет

Система вида «сумма и произведение» решается мгновенно — обратной теоремой Виета:

$\begin{cases} x + y = s \\ xy = p \end{cases} \;\Rightarrow\; x,\ y$ — корни уравнения $t^2 - st + p = 0$

Пример

$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$
Числа с суммой $5$ и произведением $6$ — корни $t^2 - 5t + 6 = 0$, то есть $2$ и $3$.
Ответ: $(2;\ 3)$ и $(3;\ 2)$ — обе пары!

Не забудь вторую пару: если $x$ и $y$ можно поменять местами, в ответ идут обе расстановки — $(2;\ 3)$ и $(3;\ 2)$.

Раздел 5

Сумма квадратов

Если дана сумма $x + y$ и сумма квадратов $x^2 + y^2$, произведение находится по формуле квадрата суммы:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \;\Rightarrow\; xy = \dfrac{(x+y)^2 - (x^2+y^2)}{2}$

Пример

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$
$xy = \dfrac{4^2 - 10}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$.
Теперь это система «сумма $4$, произведение $3$»: корни $t^2 - 4t + 3 = 0$ — числа $1$ и $3$.
Ответ: $(1;\ 3)$ и $(3;\ 1)$.

Раздел 6

Как записывать ответ

Решение системы — это пара чисел. Записываем в скобках, сначала $x$, потом $y$:

$(x_1;\ y_1)$, $(x_2;\ y_2)$

Проверь каждую пару подстановкой в оба уравнения.
Следи за порядком: $(2;\ 3)$ и $(3;\ 2)$ — разные решения.
Не «склеивай» числа из разных пар.

Проверка

Пара $(3;\ 2)$ для системы $x - y = 1$, $xy = 6$: $3 - 2 = 1$ ✓ и $3 \cdot 2 = 6$ ✓ — подходит.

Раздел 7

Частые ошибки

Находят только $x$ и забывают вычислить $y$. Ответ системы — пары, а не отдельные числа!

Теряют вторую пару в симметричных системах: у «суммы и произведения» решений два — $(a;\ b)$ и $(b;\ a)$.

Путают пары: берут $x$ из одного решения, а $y$ из другого. Каждому $x$ — свой $y$ из той же подстановки.

В формуле Виета путают знаки: для $x+y = s$, $xy = p$ уравнение $t^2 - st + p = 0$ (минус перед $s$, плюс перед $p$).

При подстановке $(y+1)y$ раскрывают как $y^2 + 1$. Правильно: $y^2 + y$.

Не проверяют пары подстановкой и пропускают арифметическую ошибку.

Раздел 8

Шпаргалка

Подстановка: выразить → подставить → квадратное → пары.
Парабола и прямая: $x^2 = kx + b$ → $x^2 - kx - b = 0$; решения = точки пересечения.
$x+y = s$, $xy = p$: корни $t^2 - st + p = 0$; ответ — обе пары.
Сумма квадратов: $xy = \dfrac{(x+y)^2 - (x^2+y^2)}{2}$.
Ответ — пары $(x;\ y)$; каждую проверь в оба уравнения.

↑ Наверх

Связь с ОГЭ

Эта тема — основа для задания №20 (вторая часть) ОГЭ

Уравнения и текстовые задачи — ядро ОГЭ. Здесь важно не просто знать метод, а доводить решение до верного ответа без потери знаков и условий.

Тренироваться по теме Тренировать задание №20 ОГЭ

Системы с квадратным уравнением

Системы с квадратным уравнением

Что изменилось по сравнению с 7 классом

Метод подстановки

Парабола и прямая

Сумма и произведение: Виет

Сумма квадратов

Как записывать ответ

Частые ошибки

Шпаргалка

Эта тема — основа для задания №20 (вторая часть) ОГЭ

Закрепите тему на практике