Домашняя работа · Системы с квадратным уравнением
Системы с квадратным уравнением — домашняя работа
Четыре блока: парабола и прямая, метод подстановки, теорема Виета
и сумма квадратов. Сначала решите сами, затем нажмите «Показать решение».
Как выполнять
Инструкция
- Парабола и прямая: приравниваем $x^2 = kx + b$ и решаем квадратное.
- Подстановка: выражаем переменную из простого уравнения.
- $x + y = s$, $xy = p$: числа — корни $t^2 - st + p = 0$; ответ — обе пары.
- Сумма квадратов: $xy = \dfrac{(x+y)^2 - (x^2+y^2)}{2}$.
- Решение под каждой задачей спрятано: открывайте его после своей попытки.
Нужна теория? Открыть конспект «Системы с квадратным уравнением» →
Блок 1
Парабола и прямая база
Приравниваем правые части.
1.1Решите систему: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$
Показать решение
$x^2 = x + 2$ → $x^2 - x - 2 = 0$ → $x = 2$, $x = -1$. $y = x^2$: $4$ и $1$.
Ответ: $(2;\ 4)$, $(-1;\ 1)$
1.2Решите систему: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x + 3 \end{cases}$
Показать решение
$x^2 - 2x - 3 = 0$ → $x = 3$, $x = -1$.
Ответ: $(3;\ 9)$, $(-1;\ 1)$
1.3Решите систему: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 3x - 2 \end{cases}$
Показать решение
$x^2 - 3x + 2 = 0$ → $x = 1$, $x = 2$.
Ответ: $(1;\ 1)$, $(2;\ 4)$
1.4Решите систему: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = -x + 6 \end{cases}$
Показать решение
$x^2 + x - 6 = 0$ → $x = 2$, $x = -3$.
Ответ: $(2;\ 4)$, $(-3;\ 9)$
Блок 2
Метод подстановки средне
Выражаем $x$ из первого уравнения.
2.1Решите систему: $\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 6 \end{cases}$
Показать решение
$x = y + 1$; $(y+1)y = 6$ → $y^2 + y - 6 = 0$ → $y = 2$, $y = -3$.
Ответ: $(3;\ 2)$, $(-2;\ -3)$
2.2Решите систему: $\begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 8 \end{cases}$
Показать решение
$x = y + 2$; $y^2 + 2y - 8 = 0$ → $y = 2$, $y = -4$.
Ответ: $(4;\ 2)$, $(-2;\ -4)$
2.3Решите систему: $\begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 10 \end{cases}$
Показать решение
$y^2 + 3y - 10 = 0$ → $y = 2$, $y = -5$.
Ответ: $(5;\ 2)$, $(-2;\ -5)$
2.4Решите систему: $\begin{cases} x - y = 5 \\ xy = -6 \end{cases}$
Показать решение
$y^2 + 5y + 6 = 0$ → $y = -2$, $y = -3$.
Ответ: $(3;\ -2)$, $(2;\ -3)$
Блок 3
Сумма и произведение средне
Обратная теорема Виета: $t^2 - st + p = 0$.
3.1Решите систему: $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$
Показать решение
$t^2 - 5t + 6 = 0$ → $2$ и $3$.
Ответ: $(2;\ 3)$, $(3;\ 2)$
3.2Решите систему: $\begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 12 \end{cases}$
Показать решение
$t^2 - 7t + 12 = 0$ → $3$ и $4$.
Ответ: $(3;\ 4)$, $(4;\ 3)$
3.3Решите систему: $\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -12 \end{cases}$
Показать решение
$t^2 - t - 12 = 0$ → $4$ и $-3$.
Ответ: $(4;\ -3)$, $(-3;\ 4)$
3.4Решите систему: $\begin{cases} x + y = -5 \\ xy = 6 \end{cases}$
Показать решение
$t^2 + 5t + 6 = 0$ → $-2$ и $-3$.
Ответ: $(-2;\ -3)$, $(-3;\ -2)$
Блок 4
Сумма квадратов сложнее
Сначала находим $xy$, потом Виет.
4.1Решите систему: $\begin{cases} x + y = 4 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$
Показать решение
$xy = \dfrac{16 - 10}{2} = 3$. $t^2 - 4t + 3 = 0$ → $1$ и $3$.
Ответ: $(1;\ 3)$, $(3;\ 1)$
4.2Решите систему: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
Показать решение
$xy = \dfrac{25 - 13}{2} = 6$. $t^2 - 5t + 6 = 0$ → $2$ и $3$.
Ответ: $(2;\ 3)$, $(3;\ 2)$
4.3Решите систему: $\begin{cases} x + y = 6 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$
Показать решение
$xy = \dfrac{36 - 20}{2} = 8$. $t^2 - 6t + 8 = 0$ → $2$ и $4$.
Ответ: $(2;\ 4)$, $(4;\ 2)$
4.4Решите систему: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}$
Показать решение
$xy = \dfrac{9 - 29}{2} = -10$. $t^2 - 3t - 10 = 0$ → $5$ и $-2$.
Ответ: $(5;\ -2)$, $(-2;\ 5)$
Проверьте себя на тесте
Когда разобрались с домашней работой — пройдите тест с автопроверкой
и посмотрите свой результат.