Движение, работа, смеси — на экзамене это одна и та же история: перевести слова в уравнение. Разберём универсальный алгоритм и три главных типа задач.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Любая текстовая задача решается по одному плану:
Из неё же: $v = \dfrac{s}{t}$ и $t = \dfrac{s}{v}$. Два классических сюжета:
| Сюжет | Скорость сближения |
|---|---|
| навстречу друг другу | $v_1 + v_2$ (складываются) |
| вдогонку | $v_1 - v_2$ (вычитаются) |
Из городов на расстоянии $300$ км навстречу друг другу выехали машины
со скоростями $60$ и $40$ км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Скорость сближения $60 + 40 = 100$ км/ч; $t = \dfrac{300}{100} = 3$ ч.
Между велосипедистом ($50$ км/ч) и мотоциклистом ($60$ км/ч) — $30$ км. Мотоциклист догоняет: скорость сближения $60 - 50 = 10$ км/ч, время $\dfrac{30}{10} = 3$ ч.
У лодки есть собственная скорость $v$, у реки — скорость течения $u$:
Собственная скорость лодки $15$ км/ч, течение $3$ км/ч.
Сколько времени займут $36$ км по течению?
Скорость по течению $15 + 3 = 18$ км/ч; $t = \dfrac{36}{18} = 2$ ч.
Работа устроена как путь: $A = p \cdot t$, где $p$ — производительность (сколько делается за единицу времени). Если всю работу принять за $1$, то производительность того, кто делает её за $a$ часов, равна $\dfrac{1}{a}$.
Первый мастер красит забор за $6$ ч, второй — за $3$ ч. За сколько часов
они покрасят его вместе?
За час вместе: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{2}$ забора.
Значит, весь забор — за $2$ часа.
Главное в смесях — следить за чистым веществом:
В $200$ г $10\%$-го раствора соли — $200 \cdot 0{,}1 = 20$ г соли.
К $200$ г $10\%$-го раствора добавили $50$ г воды. Какова новая концентрация?
Соли осталось $20$ г, раствора стало $250$ г: $\dfrac{20}{250} = 0{,}08 = 8\%$.
Когда уравнение получается квадратным, корней два — но задаче обычно подходит один. Второй отбрасываем по смыслу.
Велосипедист проехал $30$ км. Если бы скорость была на $5$ км/ч больше,
он потратил бы на час меньше. Найдите его скорость.
1) Пусть скорость $x$ км/ч. Время: $\dfrac{30}{x}$; новое время: $\dfrac{30}{x+5}$.
2) Уравнение: $\dfrac{30}{x} - \dfrac{30}{x+5} = 1$.
3) Умножаем на $x(x+5)$: $30(x+5) - 30x = x(x+5)$, то есть $x^2 + 5x - 150 = 0$.
4) Корни: $x = 10$ и $x = -15$.
5) Скорость не может быть отрицательной: $x = -15$ отбрасываем.
Ответ: $10$ км/ч.
Уравнения и текстовые задачи — ядро ОГЭ. Здесь важно не просто знать метод, а доводить решение до верного ответа без потери знаков и условий.