Математика 7–9 класс /
Геометрия 9 класс /
Дуга окружности и радианная мера
Геометрия 9 класс · Теория
★ База для ОГЭ
Дуга окружности и радианная мера
Углы и дуги можно измерять не только в градусах, но и в радианах.
Разберём, что такое радиан, как переводить туда-обратно и как найти длину дуги.
Пройти тему целиком
Дуга окружности и радианная мера
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Дуга и центральный угол
Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Он опирается
на дугу, и градусная мера дуги равна градусной мере этого угла.
α
дуга
Центральный угол $\alpha$ опирается на дугу той же градусной меры.
Вся окружность — это $360^\circ$. Половина — $180^\circ$,
четверть — $90^\circ$.
Раздел 2
Что такое радиан
Радиан
Центральный угол, который опирается на дугу длиной, равной радиусу.
Полный угол $360^\circ$ равен $2\pi$ радиан.
Главное соответствие, из которого выводится всё:
$180^\circ = \pi$ радиан
Запомни опорные значения: $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$,
$60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$, $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$, $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$.
Раздел 3
Градусы → радианы
Чтобы перевести градусы в радианы, умножаем на $\dfrac{\pi}{180}$:
$\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \dfrac{\pi}{180}$
Пример
$60^\circ = 60 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$.
Не забывай сокращать дробь: $\dfrac{60\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$.
Раздел 4
Радианы → градусы
Обратно — умножаем на $\dfrac{180}{\pi}$ (заменяем $\pi$ на $180^\circ$):
$\alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \dfrac{180}{\pi}$
Пример
$\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.
Удобный приём: просто замени $\pi$ на $180^\circ$ и посчитай.
$\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3 \cdot 180^\circ}{2} = 270^\circ$.
Раздел 5
Длина дуги
Длину дуги считают как долю длины окружности по градусной мере:
$L = 2\pi R \cdot \dfrac{n}{360}$ \quad(или через радианы: $L = R\alpha$)
Пример
$R = 6$, дуга $n = 60^\circ$.
Через радианы ещё короче: при $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ длина
$L = R\alpha = 6 \cdot \dfrac{\pi}{3} = 2\pi$ — тот же ответ.
Раздел 6
Частые ошибки
Путают направление перевода: в радианы — умножить на $\dfrac{\pi}{180}$,
в градусы — на $\dfrac{180}{\pi}$.
Не сокращают дробь и оставляют $\dfrac{60\pi}{180}$ вместо $\dfrac{\pi}{3}$.
Считают, что $360^\circ = \pi$. На самом деле $180^\circ = \pi$,
а $360^\circ = 2\pi$.
В длине дуги делят на $180$ вместо $360$.
В формуле $L = R\alpha$ берут $\alpha$ в градусах. Она работает
только для радиан.
Раздел 7
Шпаргалка
База: $180^\circ = \pi$, $360^\circ = 2\pi$.В радианы: $\cdot \dfrac{\pi}{180}$.В градусы: $\cdot \dfrac{180}{\pi}$ (замени $\pi$ на $180^\circ$).Длина дуги: $L = 2\pi R \cdot \dfrac{n}{360} = R\alpha$ (рад).Опорные: $30^\circ=\dfrac{\pi}{6}$, $45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$, $60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$, $90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$.
↑ Наверх
Связь с ОГЭ
Эта тема — основа для задания геометрии ОГЭ
Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема закрепится надёжно.