Математика 7–9 класс /
Геометрия 9 класс /
Теорема о хорде и секущей
Геометрия 9 класс · Теория
★ База для ОГЭ
Теорема о хорде и секущей
Когда две линии пересекают окружность, отрезки на них связаны простым правилом:
«произведение частей одной равно произведению частей другой». Разберём три случая.
Пройти тему целиком
Теорема о хорде и секущей
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Хорда, секущая, касательная
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
хорда
секущая
касательная
Хорда (синяя), секущая (зелёная) и касательная (красная).
Раздел 2
Пересекающиеся хорды
Теорема о хордах
Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков
одной хорды равно произведению отрезков другой.
$AE \cdot EB = CE \cdot ED$
A
B
C
D
E
Точка $E$ делит каждую хорду на два отрезка.
Пример
$AE = 4$, $EB = 6$, $CE = 3$. Найдём $ED$.
Раздел 3
Касательная и секущая
Теорема о касательной
Если из одной точки проведены касательная и секущая, то квадрат
касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.
$MT^2 = MA \cdot MB$
Здесь $MT$ — касательная, $MA$ — вся секущая (до дальней точки),
$MB$ — её внешняя часть (до ближней точки).
Пример
$MB = 4$, $MA = 9$. Найдём касательную $MT$.
Частый приём: если касательная известна, а одна часть секущей нет —
подставь в $MT^2 = MA\cdot MB$ и реши уравнение.
Раздел 4
Две секущие
Теорема о секущих
Если из одной точки проведены две секущие, то произведение всей первой
секущей на её внешнюю часть равно такому же произведению для второй.
$MA \cdot MB = MC \cdot MD$
$MA$, $MC$ — целые секущие (до дальних точек), $MB$, $MD$ — внешние части.
Пример
$MB = 3$, $MA = 12$, $MD = 4$. Найдём $MC$.
Раздел 5
Разбор примеров
Хорды — обратная задача
$AE = 5$, $EB = 4$, $ED = 2$. Найдём $CE$.
Касательная
Касательная $MT = 8$, внешняя часть секущей $MB = 4$. Найдём всю секущую $MA$.
Раздел 6
Частые ошибки
Для секущей берут не всю длину, а только дальнюю часть.
В формулу идёт вся секущая × внешняя часть.
В теореме о касательной забывают квадрат: пишут $MT$ вместо $MT^2$.
Путают, какие отрезки перемножать в хордах: берут половинки разных хорд.
Складывают отрезки вместо умножения.
При $MT^2 = 36$ забывают извлечь корень и пишут $MT = 36$.
Раздел 7
Шпаргалка
Хорды: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.Касательная: $MT^2 = MA \cdot MB$ (вся секущая × внешняя часть).Две секущие: $MA \cdot MB = MC \cdot MD$.Правило: «целое × внешнее» одинаково для всех линий из одной точки.Не забыть корень: из $MT^2$ находим $MT$.
↑ Наверх
Связь с ОГЭ
Эта тема — основа для задания геометрии ОГЭ
Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема закрепится надёжно.