Математика 7–9 класс /
Геометрия 9 класс /
Длина окружности и площадь круга
Геометрия 9 класс · Теория
★ База для ОГЭ
Длина окружности и площадь круга
Две главные формулы про круг: длина окружности $C = 2\pi R$ и площадь круга
$S = \pi R^2$. Разберём, как ими пользоваться и как найти радиус обратно.
Пройти тему целиком
Длина окружности и площадь круга
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Окружность, круг, радиус
Окружность — линия (граница); круг — закрашенная область внутри.Радиус $R$ — от центра до окружности; диаметр $D = 2R$.$\pi \approx 3{,}14$ — отношение длины окружности к диаметру.
R
O
Радиус $R$ — от центра $O$ до окружности.
На ОГЭ обычно просят считать с $\pi \approx 3{,}14$ или оставить ответ
«через $\pi$» (например, $6\pi$). Смотри, что требуется в условии.
Раздел 2
Длина окружности
$C = 2\pi R$ \quad(или $C = \pi D$)
Пример
$R = 5$. Длина $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4$.
Если в ответе допускается $\pi$ — пиши $10\pi$. Если нужно число —
подставь $\pi \approx 3{,}14$: получится $31{,}4$.
Раздел 3
Площадь круга
$S = \pi R^2$
Пример
$R = 3$. Площадь $S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \approx 28{,}26$.
В квадрат возводится только радиус : $\pi R^2$, а не $(\pi R)^2$.
Сначала $R^2$, потом умножаем на $\pi$.
Раздел 4
Найти радиус обратно
Если известна длина или площадь, радиус выражают из формулы:
из $C = 2\pi R$: \;\; $R = \dfrac{C}{2\pi}$; \quad
из $S = \pi R^2$: \;\; $R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$
Пример
Площадь круга $36\pi$. Найдём радиус: $R^2 = \dfrac{36\pi}{\pi} = 36$, значит $R = 6$.
Пример
Длина окружности $14\pi$. Тогда $R = \dfrac{14\pi}{2\pi} = 7$.
Раздел 5
Дуга и сектор
Дуга и сектор — это «кусочек» окружности и круга. Берём от полной величины
долю $\dfrac{n}{360}$, где $n$ — градусная мера дуги:
длина дуги $= 2\pi R \cdot \dfrac{n}{360}$; \quad
площадь сектора $= \pi R^2 \cdot \dfrac{n}{360}$
Пример
$R = 6$, дуга $90^\circ$ (это $\dfrac{1}{4}$ окружности).
$90^\circ$ — четверть, $180^\circ$ — половина, $120^\circ$ — треть.
Доли удобно считать в уме.
Раздел 6
Частые ошибки
Путают длину и площадь: длина $2\pi R$, площадь $\pi R^2$.
Возводят в квадрат всё выражение: $(\pi R)^2$ вместо $\pi R^2$.
Берут диаметр вместо радиуса (или наоборот): $D = 2R$.
При поиске радиуса из площади забывают квадратный корень.
В секторе делят не на $360$, а на $180$ или $100$.
Считают с $\pi \approx 3{,}14$, когда в ответе нужно оставить «через $\pi$»
— и получают расхождение.
Раздел 7
Шпаргалка
Длина окружности: $C = 2\pi R = \pi D$.Площадь круга: $S = \pi R^2$.Радиус: $R = \dfrac{C}{2\pi}$ или $R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$.Дуга: $2\pi R \cdot \dfrac{n}{360}$; сектор: $\pi R^2 \cdot \dfrac{n}{360}$.$\pi \approx 3{,}14$ ; диаметр $D = 2R$.
↑ Наверх
Связь с ОГЭ
Эта тема — основа для задания геометрии ОГЭ
Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема закрепится надёжно.