Движение фигуры на плоскости: перенос, поворот и симметрия. Все они сохраняют расстояния и форму. В координатах каждое преобразование — это простое правило для точек.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Фигура и её образ равны: меняется только положение, а размеры и форма — нет.
Основные движения: перенос, поворот, центральная и осевая симметрия.
Каждая точка сдвигается на один и тот же вектор $(dx;\ dy)$:
$A(2;\ 3)$ перенесли на вектор $(4;\ -1)$.
$A' = (2+4;\ 3-1) = (6;\ 2)$.
Поворот против часовой стрелки на угол:
| Угол | Правило |
|---|---|
| $90°$ | $(x;\ y) \to (-y;\ x)$ |
| $180°$ | $(x;\ y) \to (-x;\ -y)$ |
| $270°$ | $(x;\ y) \to (y;\ -x)$ |
$A(3;\ 2)$ повернули на $90°$ против часовой стрелки.
$A' = (-2;\ 3)$.
Симметрия относительно точки $O$ — это поворот на $180°$ вокруг $O$. Относительно начала координат:
Относительно произвольного центра $O(cx;\ cy)$:
$A(5;\ -2)$, центр $O(1;\ 1)$.
$A' = (2\cdot 1 - 5;\ 2\cdot 1 - (-2)) = (-3;\ 4)$.
Зеркальное отражение относительно прямой:
$A(3;\ 5)$ отразили относительно оси $Ox$.
$A' = (3;\ -5)$.
| Преобразование | Правило для $(x;\ y)$ |
|---|---|
| Перенос на $(dx;\ dy)$ | $(x+dx;\ y+dy)$ |
| Поворот $90°$ | $(-y;\ x)$ |
| Поворот $180°$ / центр. симм. | $(-x;\ -y)$ |
| Поворот $270°$ | $(y;\ -x)$ |
| Симметрия относит. $Ox$ | $(x;\ -y)$ |
| Симметрия относит. $Oy$ | $(-x;\ y)$ |
| Симметрия относит. $y=x$ | $(y;\ x)$ |
Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.