Теорема косинусов — это «обобщённая теорема Пифагора»: она работает в любом треугольнике, а не только в прямоугольном. По двум сторонам и углу между ними находит третью сторону, а по трём сторонам — любой угол.
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Здесь $C$ — угол, лежащий напротив искомой стороны $c$; $a$ и $b$ — две стороны, между которыми этот угол.
Если угол $C = 90°$, то $\cos 90° = 0$, и формула превращается в Пифагора:
Известны две стороны и угол между ними — подставляем в формулу.
$AB = 5$, $BC = 8$, $\angle B = 60°$. Найти $AC$.
$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot\cos 60° = 25 + 64 - 80\cdot\dfrac12 = 49$.
$AC = \sqrt{49} = 7$.
$a = 3$, $b = 5$, угол между ними $120°$. Найти третью сторону.
$c^2 = 9 + 25 - 2\cdot 3\cdot 5\cdot\left(-\dfrac12\right) = 34 + 15 = 49$, $c = 7$.
Известны все три стороны — выражаем косинус нужного угла:
Стороны $5$, $8$ и $7$. Найти угол против стороны $7$.
$\cos C = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2\cdot 5\cdot 8} = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac12$.
Значит $C = 60°$.
В задачах ОГЭ чаще всего встречаются «удобные» углы:
| Угол | $60°$ | $90°$ | $120°$ |
|---|---|---|---|
| $\cos$ | $\dfrac12$ | $0$ | $-\dfrac12$ |
Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.