Геометрия 9 класс · Теория

★ База для ОГЭ

Теорема синусов

Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов и с радиусом описанной окружности. Это «напарник» теоремы косинусов.

Пройти тему целиком

Теорема синусов

Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.

Начать прохождение темы →

Содержание

1 Формула 2 Когда применять 3 Найти сторону 4 Найти радиус 5 Найти угол 6 Значения синуса 7 Частые ошибки 8 Шпаргалка

Раздел 1

Формула

Отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон и равно диаметру описанной окружности:

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

$a$ — сторона напротив угла $A$, $R$ — радиус описанной окружности.

Треугольник вписан в окружность радиуса $R$; стороны связаны через синусы углов.

Раздел 2

Когда применять

Известны сторона и противолежащий ей угол — можно найти любую другую сторону, если известен её угол.
Нужно найти радиус описанной окружности по стороне и углу.
Нужно найти угол по стороне и радиусу.

Если известны две стороны и угол между ними — это случай теоремы косинусов. Теорема синусов работает с парами «сторона ↔ её угол».

Раздел 3

Найти сторону

Через радиус

$R = 5$, угол против искомой стороны $30°$. Найти сторону.
$a = 2R\sin A = 2\cdot 5\cdot\sin 30° = 10\cdot\dfrac12 = 5$.

Через другую сторону

$b = 6$ против угла $90°$, найти $a$ против угла $30°$.
$a = b\cdot\dfrac{\sin A}{\sin B} = 6\cdot\dfrac{\sin 30°}{\sin 90°} = 6\cdot\dfrac{1/2}{1} = 3$.

Раздел 4

Найти радиус

$2R = \dfrac{a}{\sin A}, \quad R = \dfrac{a}{2\sin A}$

Пример

Сторона $10$ против угла $30°$. Найти $R$.
$2R = \dfrac{10}{\sin 30°} = \dfrac{10}{1/2} = 20$, $R = 10$.

Полезный факт: в прямоугольном треугольнике гипотенуза — это диаметр описанной окружности, поэтому $R = \dfrac{c}{2}$.

Раздел 5

Найти угол

$\sin A = \dfrac{a}{2R}$

Пример

Сторона $10$, радиус $10$. Найти угол против стороны.
$\sin A = \dfrac{10}{2\cdot 10} = \dfrac12$, значит острый угол $A = 30°$.

Один и тот же синус дают два угла ($30°$ и $150°$). В задачах ОГЭ обычно просят острый угол.

Раздел 6

Значения синуса

Угол	$30°$	$90°$	$150°$
$\sin$	$\dfrac12$	$1$	$\dfrac12$

Обрати внимание: $\sin 150° = \sin 30° = \dfrac12$. Синус тупого угла равен синусу смежного острого.

Раздел 7

Частые ошибки

Связывают сторону с «не своим» углом. В формуле — сторона и противолежащий ей угол.

Забывают, что отношение равно $2R$, а не $R$. Радиус — половина.

Берут $\sin 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}$ вместо $\dfrac12$ (путают с косинусом).

Пытаются применить теорему синусов, когда дан угол между сторонами — там нужна теорема косинусов.

Считают, что синус тупого угла отрицательный (он положительный).

Раздел 8

Шпаргалка

Формула: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$.
Сторона: $a = 2R\sin A$.
Радиус: $R = \dfrac{a}{2\sin A}$.
Угол: $\sin A = \dfrac{a}{2R}$.
$\sin 30°=\dfrac12$, $\sin 90°=1$, $\sin 150°=\dfrac12$.

↑ Наверх

Связь с ОГЭ

Эта тема — основа для задания геометрии ОГЭ

Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.

Тренироваться по теме Тренировать задание №16 ОГЭ

Теорема синусов

Теорема синусов

Формула

Когда применять

Найти сторону

Найти радиус

Найти угол

Значения синуса

Частые ошибки

Шпаргалка

Эта тема — основа для задания геометрии ОГЭ

Закрепите тему на практике