Математика 7–9 класс /
Геометрия 9 класс /
Векторы
Геометрия 9 класс · Теория
★ База для ОГЭ
Векторы
Вектор — это направленный отрезок: у него есть длина и направление.
Разберём координаты вектора, его длину, действия с векторами
и скалярное произведение.
Пройти тему целиком
Векторы
Хочешь не просто прочитать, а закрепить тему? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам . Задачи генерируются автоматически,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется.
Начать прохождение темы →
Раздел 1
Что такое вектор
Вектор
Направленный отрезок: у него есть начало и конец. Обозначают $\vec{a}$
или $\overrightarrow{AB}$ (от точки $A$ к точке $B$).
A
B
AB
Вектор $\overrightarrow{AB}$ — стрелка из $A$ в $B$.
Длина и направление — всё, что есть у вектора. Два вектора равны,
если у них одинаковые длина и направление, даже если они в разных местах.
Раздел 2
Координаты вектора
Координаты вектора — это «на сколько сдвинуться по $x$ и по $y$»,
чтобы попасть из начала в конец. Их находят как «конец минус начало»:
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ \ y_B - y_A)$
Пример
$A(1;\ 2)$, $B(4;\ 6)$. Тогда $\overrightarrow{AB} = (4 - 1;\ 6 - 2) = (3;\ 4)$.
Порядок важен: всегда «конец минус начало». Если перепутать,
получится противоположный вектор $\overrightarrow{BA} = (-3;\ -4)$.
Раздел 3
Длина вектора
Длина (модуль) вектора $\vec{a}(x;\ y)$ — это его «протяжённость»,
считается по теореме Пифагора:
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Пример
$\vec{a} = (3;\ 4)$. Длина $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Координаты вектора и его длина — это прямой угол и гипотенуза:
$x$ и $y$ — катеты, длина вектора — гипотенуза.
Раздел 4
Сложение и вычитание
Векторы складывают и вычитают покоординатно :
$\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b;\ y_a + y_b)$, \quad
$\vec{a} - \vec{b} = (x_a - x_b;\ y_a - y_b)$
Пример
$\vec{a} = (3;\ 4)$, $\vec{b} = (1;\ -2)$.
Геометрически сумма — это «правило треугольника»: приставляем
начало второго к концу первого, результат — от начала первого к концу второго.
Раздел 5
Умножение на число
При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число:
$k \cdot \vec{a} = (k x_a;\ k y_a)$
Пример
$\vec{a} = (3;\ 4)$. Тогда $2\vec{a} = (6;\ 8)$, а $-\vec{a} = (-3;\ -4)$.
Число $k$ меняет длину в $|k|$ раз. Если $k < 0$ — вектор ещё и
разворачивается в противоположную сторону.
Раздел 6
Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов — это число (а не вектор),
считается так:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$
Пример
$\vec{a} = (3;\ 4)$, $\vec{b} = (2;\ 1)$.
Если скалярное произведение равно нулю — векторы
перпендикулярны . Это частый вопрос на экзамене.
Раздел 7
Частые ошибки
Координаты вектора считают как «начало минус конец».
Правильно: конец минус начало .
В длине забывают квадратный корень или складывают $x + y$
вместо $\sqrt{x^2 + y^2}$.
Скалярное произведение считают вектором. Это число :
$x_a x_b + y_a y_b$.
При умножении на число умножают только одну координату.
Нужно обе.
Путают $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ — это
противоположные векторы.
Раздел 8
Шпаргалка
Координаты: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$.Длина: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.Сумма/разность: покоординатно.Умножение на $k$: $(k x;\ k y)$.Скалярное произведение: $x_a x_b + y_a y_b$ — это число.Перпендикулярны ⟺ скалярное произведение $= 0$.
↑ Наверх
Связь с ОГЭ
Эта тема — основа для задания геометрии ОГЭ
Геометрия даёт заметную часть баллов ОГЭ — и в первой части, и во второй, где решение нужно обосновывать. Разбирай не только формулы, но и чертежи.
Закрепите тему на практике
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема закрепится надёжно.