Формула сложных процентов и расчёт вклада.
Урок держится на одном приёме: увеличить на \(p\%\) — значит умножить на \(1+\frac{p}{100}\). Проверяем устно.
Ответы: 200; \(500\cdot1{,}2=600\); \(1{,}1^2=1{,}21\). Спросите, почему увеличить на 20% — это умножить на \(1{,}2\), а не на \(0{,}2\).
При простых процентах проценты каждый год начисляют на одну и ту же, исходную сумму. Прибавка каждый год одинаковая.
10% от 10 000 — это 1000 рублей в год. За три года — 3000, итого 13 000. Суммы по годам образуют арифметическую прогрессию с разностью 1000.
При сложных процентах их начисляют на накопленную сумму: в конце года проценты прибавляются к вкладу, и на следующий год растёт уже вся сумма.
\(10\,000\cdot1{,}1=11\,000\), затем \(11\,000\cdot1{,}1=12\,100\), затем \(13\,310\). Прибавка растёт: 1000, 1100, 1210.
Суммы по годам — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=1+\frac{p}{100}\). Отсюда формула \(S=S_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\).
Здесь степень \(n\), а не \(n-1\): \(S_0\) — сумма «до первого года», и за \(n\) лет происходит ровно \(n\) начислений.
Подставляем: \(q=1{,}05\), \(n=2\).
\(1{,}05^2=1{,}1025\), итог 22 050 рублей. По годам: 21 000, затем 22 050.
Доход — это не итоговая сумма, а прибавка к ней: итог минус то, что положили.
В прошлом примере доход 2050 рублей. При простых процентах было бы \(2\cdot1000=2000\) — на 50 рублей меньше.
В первый год оба способа дают одинаково. Потом сложные проценты обгоняют: они начисляются и на уже заработанное.
За три года разница 310 рублей, за двадцать лет она была бы больше суммы вклада. Поэтому для долгих вкладов сложные проценты выгоднее, а для долгов — опаснее.
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.