Расчёт массы и объёма тела по его плотности
Формулы m = ρ·V и V = m/ρ. Как не перепутать единицы. Разбор задач с решением.
Как узнать массу тела, не взвешивая его
Можно положить тело на весы — и сразу узнать массу. Но физика умеет интереснее: массу можно рассчитать, если знать вещество и объём тела.
Если плотность алюминия 2,7 г/см³, это значит: каждый 1 см³ алюминия имеет массу 2,7 г. Значит, 10 см³ алюминия будут иметь массу 2,7 · 10 = 27 г. Это и есть основная идея темы.
Зная плотность вещества и объём тела, можно найти массу.
Зная массу тела и плотность вещества, можно найти объём.
Зная массу тела и плотность вещества, можно найти объём.
Три формулы из одной
Главная формула плотности: ρ = m / V. Из неё получаются ещё две.
ρ = m / V
находим плотность: масса ÷ объём
m = ρ · V
находим массу: плотность × объём
V = m / ρ
находим объём: масса ÷ плотность
Простой способ не путаться — треугольник плотности: в вершине стоит m, в основании — ρ и V. Закрой то, что нужно найти — увидишь формулу из оставшихся двух.
Правило треугольника: закрой искомую величину пальцем.
Закрыл m → m = ρ · V (произведение нижних).
Закрыл ρ → ρ = m / V (верхнее делить на нижнее).
Закрыл V → V = m / ρ (верхнее делить на нижнее).
Закрыл m → m = ρ · V (произведение нижних).
Закрыл ρ → ρ = m / V (верхнее делить на нижнее).
Закрыл V → V = m / ρ (верхнее делить на нижнее).
Интерактив 1. «Какая формула нужна?»
Прочитай, что известно и что ищем — выбери нужную формулу.
Известны: ρ (плотность) и V (объём).
Формула: m = ρ · V — умножаем плотность на объём.
Известны: m (масса) и ρ (плотность).
Формула: V = m / ρ — делим массу на плотность.
Известны: m (масса) и V (объём).
Формула: ρ = m / V — делим массу на объём.
Сначала определи, что ищешь — потом выбирай формулу, а не наоборот.
Интерактив 2. «Найди массу» — ползунки
Двигай ползунки плотности и объёма. Масса пересчитывается мгновенно по формуле m = ρ · V.
Чем больше плотность или объём — тем больше масса. Оба параметра умножаются.
Интерактив 3. «Найди объём» — ползунки
Двигай ползунки массы и плотности. Объём пересчитывается мгновенно по формуле V = m / ρ.
Чем больше масса — тем больше объём. Чем больше плотность — тем меньше объём при той же массе.
Почему получаются правильные единицы
Посмотрим на единицы при поиске массы:
г/см³ · см³ = г
«Кубические сантиметры» в числителе и знаменателе сокращаются → остаются граммы.
«Кубические сантиметры» в числителе и знаменателе сокращаются → остаются граммы.
При поиске объёма:
г / (г/см³) = см³
Граммы в числителе и знаменателе сокращаются → остаются кубические сантиметры.
Граммы в числителе и знаменателе сокращаются → остаются кубические сантиметры.
Это хороший способ проверить, правильно ли выбрана формула: если единицы не сходятся — где-то ошибка.
Задачи на нахождение массы
Задача 1. Алюминиевая деталь
Объём алюминиевой детали равен 20 см³. Плотность алюминия — 2,7 г/см³. Найдите массу детали.
Дано: V = 20 см³, ρ = 2,7 г/см³ · Найти: m
m = ρ · V = 2,7 · 20 = 54 г
Ответ: 54 г
Задача 2. Вода в бутылке
Объём воды равен 0,5 л. Найдите массу воды. (1 л = 1000 см³, плотность воды 1 г/см³)
V = 0,5 л = 500 см³, ρ = 1 г/см³ · Найти: m
m = ρ · V = 1 · 500 = 500 г
Ответ: 500 г (= 0,5 кг)
Задача 3. Кирпич
Объём кирпича 0,002 м³. Плотность кирпича примерно 1800 кг/м³. Найдите массу.
V = 0,002 м³, ρ = 1800 кг/м³ · Найти: m
m = ρ · V = 1800 · 0,002 = 3,6 кг
Ответ: 3,6 кг
Интерактив 4. «Кубики одного объёма»
Объём всех кубиков одинаковый — 10 см³. Выбери вещество и посмотри массу.
Вода, ρ = 1 г/см³.
m = 1 · 10 = 10 г
Дерево (сосна), ρ ≈ 0,5 г/см³.
m = 0,5 · 10 = 5 г — легче воды!
Алюминий, ρ = 2,7 г/см³.
m = 2,7 · 10 = 27 г
Железо, ρ = 7,8 г/см³.
m = 7,8 · 10 = 78 г
Свинец, ρ = 11,3 г/см³.
m = 11,3 · 10 = 113 г — самый тяжёлый!
При одинаковом объёме масса тем больше, чем больше плотность вещества.
Задачи на нахождение объёма
Задача 4. Алюминиевая деталь
Масса алюминиевой детали 135 г. Плотность алюминия 2,7 г/см³. Найдите объём.
m = 135 г, ρ = 2,7 г/см³ · Найти: V
V = m / ρ = 135 / 2,7 = 50 см³
Ответ: 50 см³
Задача 5. Кусок меди
Масса куска меди 890 г. Плотность меди 8,9 г/см³. Найдите объём.
m = 890 г, ρ = 8,9 г/см³ · Найти: V
V = m / ρ = 890 / 8,9 = 100 см³
Ответ: 100 см³
Задача 6. Масло растительное
Масса масла 800 г. Плотность масла ≈ 0,8 г/см³. Найдите объём.
m = 800 г, ρ = 0,8 г/см³ · Найти: V
V = m / ρ = 800 / 0,8 = 1000 см³ = 1 л
Ответ: 1000 см³ (1 литр)
Главное правило единиц
Единицы в задаче должны подходить друг к другу. Самая частая ошибка — смешать граммы с кубометрами или килограммы с кубическими сантиметрами.
Если ρ в г/см³ → m в г, V в см³.
Если ρ в кг/м³ → m в кг, V в м³.
Если ρ в кг/м³ → m в кг, V в м³.
Нельзя подставлять ρ = 2 г/см³ и V = 0,001 м³ напрямую. Сначала перевести: 0,001 м³ = 1000 см³.
Полезные переводы:
- 1 г/см³ = 1000 кг/м³ (умножь на 1000)
- 1 кг = 1000 г; 1 г = 0,001 кг
- 1 м³ = 1 000 000 см³; 1 л = 1000 см³ = 1 дм³
- 1 мл = 1 см³
Тренажёр. «Можно ли сразу считать?»
Нажми на каждую ситуацию — узнай, подходят ли единицы для прямой подстановки в формулу.
Перед решением задачи всегда проверяй: единицы плотности, массы и объёма должны быть из одной системы.
Интерактив 5. «Масса или объём?»
Нажми на ситуацию — определи, что ищем, и проверь формулу.
Сначала определи, что известно и что ищешь — только потом подставляй числа.
Интерактив 6. «Похоже на правду?»
Оцени ответ по смыслу — не вычисляя.
Перед записью ответа спроси себя: «Это похоже на правду по смыслу?» — это помогает поймать ошибки в формуле.
Мини-опыты дома
Мини-опыт 1. Рассчитай массу воды
Что нужно
Мерный стакан или бутылка с известным объёмом.
Что сделать
Налей 200 мл воды. 200 мл = 200 см³, плотность воды 1 г/см³.
m = ρ · V = 1 · 200 = 200 г
Полезный факт: у воды объём в мл ≈ масса в г. 500 мл = 500 г = 0,5 кг.
Мини-опыт 2. Найди объём пластилина
Что нужно
Кусок пластилина, весы.
Что сделать
Взвесь пластилин. Прими ρ ≈ 1,8 г/см³.
Пример: m = 54 г → V = 54 / 1,8 = 30 см³
Даже для тела неправильной формы можно оценить объём по массе и плотности.
Мини-опыт 3. Сравни два предмета
Что нужно
Деревянный брусок и металлический предмет похожего размера.
Что сделать
Возьми оба в руки — почувствуй разницу. Если есть весы, измерь массы. Зная приблизительный объём, рассчитай плотность обоих.
Предмет с большей массой при одинаковом размере — более плотный.
Частые ошибки
1
Путают формулы. Ищут массу и пишут m = m/V вместо m = ρ·V. Используй треугольник плотности.
2
Смешивают единицы. Подставляют ρ в г/см³ и V в м³ без перевода. Проверяй единицы перед подстановкой.
3
Забывают: 1 мл = 1 см³. Объём в мензурке читают как мл — спокойно используй как см³.
4
Путают массу тела и плотность вещества. Масса — у конкретного тела. Плотность — у вещества. «Масса железного кубика 78 г» ≠ «плотность железа».
5
Пишут ответ без единицы. «V = 50» — неправильно. Нужно «V = 50 см³» или «m = 390 г».
6
Думают: большой объём = большая масса. Большой кусок пенопласта может быть легче маленькой металлической детали.
Проверь себя — 10 вопросов
1 / 10
правильных ответов из 10
Главное
- Три формулы из одной: ρ = m/V, m = ρ·V, V = m/ρ.
- Чтобы найти массу: m = ρ · V (плотность умножить на объём).
- Чтобы найти объём: V = m / ρ (массу разделить на плотность).
- Единицы должны совпадать: г/см³ → г и см³; кг/м³ → кг и м³.
- Перевод: 1 г/см³ = 1000 кг/м³; 1 мл = 1 см³; 1 л = 1000 см³.
- Проверка смыслом: большая плотность при том же объёме → большая масса; та же масса при большей плотности → меньший объём.
Физика 7 класс · Пёрышкин · Тема 19: Расчёт массы и объёма по плотности