Разбор задания №20 ОГЭ — уравнения и неравенства

Как оценивают. 2 балла — решение верное и обоснованное. 1 балл — верный ход, но есть вычислительная ошибка или не отброшен посторонний корень. 0 — решение неверное или его нет. Поэтому записывайте каждый шаг и обязательно проверяйте область допустимых значений (ОДЗ).

Что чаще всего встречается

• Дробно-рациональное уравнение: приводим к общему знаменателю, находим ОДЗ (знаменатель $\ne 0$), решаем числитель, отбрасываем корни, обнуляющие знаменатель.
• Разложение на множители: группировка, вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения. Произведение равно нулю — значит, нулю равен один из множителей.
• Неравенства: метод интервалов. Находим нули, отмечаем на прямой, расставляем знаки.

Дробно-рациональное уравнение

Решите уравнение $\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{4}{x+2}=\dfrac{8}{x^2-4}$.

1. ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: $x\ne 2$ и $x\ne -2$ (ведь $x^2-4=(x-2)(x+2)$).
2. Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)=x^2-4$. Умножаем на него обе части: $$x(x+2)-4(x-2)=8.$$
3. Раскрываем скобки: $x^2+2x-4x+8=8$, то есть $x^2-2x+8=8$.
4. Переносим: $x^2-2x=0$, выносим множитель: $x(x-2)=0$. Значит $x=0$ или $x=2$.
5. Проверяем по ОДЗ. Корень $x=2$ обнуляет знаменатель — это посторонний корень, его отбрасываем. Остаётся $x=0$.
6. Проверка: $\dfrac{0}{-2}-\dfrac{4}{2}=0-2=-2$ и $\dfrac{8}{0-4}=-2$ — совпало.

Уравнение разложением на множители

Решите уравнение $x^3-3x^2-x+3=0$.

1. Группируем: $(x^3-3x^2)-(x-3)=0$.
2. Выносим общий множитель в каждой группе: $x^2(x-3)-1\cdot(x-3)=0$.
3. Выносим общий множитель $(x-3)$: $(x-3)(x^2-1)=0$.
4. По формуле разности квадратов $x^2-1=(x-1)(x+1)$, значит $(x-3)(x-1)(x+1)=0$.
5. Произведение равно нулю — значит нулю равен один из множителей: $x=3$, $x=1$ или $x=-1$.

Частые ошибки

Соседние разборы второй части

№20 — самое доступное задание второй части: один-два балла здесь часто решают итоговую оценку. Следующий шаг — текстовая задача №21.