Загрузка заданий...

Вариант 30 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.

Мобильный интернет	1,5 ГБ	2 ГБ	3,75 ГБ	1 ГБ
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 83117.

Ответ: 83117

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?

Решение

По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.

Ответ: 425

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?

Решение

По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.

Ответ: 4

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?

Решение

В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.

Ответ: 50

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	460 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	130 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	160 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.

Ответ: 350

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{2}{1} - 0,3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{2}{1} - 0,3$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{2}{1}) - 0,3 = 1,7$.

Получили результат $1,7$.

Ответ: $1,7$.

Ответ: 1,7

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > -2

-a > 2

$\frac{1}{a} > 0$

a + 1 > 0

Решение

По чертежу видно, что -2 < a < -1.

Проверим варианты ответа:

1) a > -2 ⇔ a > -2 — верно.

2) -a > 2 ⇔ a < -2 — неверно.

3) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

4) a + 1 > 0 ⇔ a > -1 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{4} - 4)(\sqrt{4} + 4)$$

Решение

Вычислим выражение: (√4 - 4)(√4 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√4)² - 4² = 4 - 16 = -12.

Ответ: -12.

Ответ: -12

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 81 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 81 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = -81.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 0² - 4·1·-81 = 324.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (0 - √324) / 2 = -9

x₂ = (0 + √324) / 2 = 9

Ответ: -9;9

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 9 чёрных, 30 жёлтых и 1 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 30 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{30}{40}$ = 0,75.

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 6 с^-1, а центростремительное ускорение равно 50,4 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 50,4/(6²) = 1,4.

Ответ: 1,4.

Ответ: 1,4

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 4)(x - 7) < 0

[-4;+∞)

(7;+∞)

[-4;7]

(-4;7)

Решение

Нули выражения: x = -4 и x = 7. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 7 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 7) < 0 получаем решение (-4;7). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 8 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -5° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 9° C в минуту.

Через 8 минут изменение составит 9·8 = 72° C.

Итоговая температура: -5 - 72 = -77.

Ответ: -77.

Ответ: -77

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 106°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.

Сумма углов при основании равна 180° - 106° = 74°.

Каждый из них равен 74° : 2 = 37°.

Ответ: 37.

Ответ: 37

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 115°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 115° / 2 = 57,5°.

Ответ: 57,5.

Ответ: 57,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 20, а tg ∠BCA = 0,7. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 20 · 0,7 = 14.

S = AC · BD / 2 = 20 · 14 / 2 = 140.

Ответ: 140.

Ответ: 140

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 10 и 8.

S = 10 · 8 / 2 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: по определению окружности.

2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $a-55b+53$, если $\dfrac{7a-b+7}{a-7b+7}=8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $a-55b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-b+7 = 8(a-7b+7)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-b+7 = 8a-56b+56$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = a-55b+49$, откуда $a-55b = -49$.

Шаг 4. Вычисляем: $a-55b+53 = -49+53 = 4$.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 10) км/ч.

Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:

60/x = 60/(x+10) + 3.

Шаг 3. Переносим 60/(x+10) влево:

60/x − 60/(x+10) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x·(x+10): 3x² + 30x − 600 = 0.

Шаг 5. D = 8100, √D = 90. x = (−30+90)/(2·3) = 10.

Шаг 6. Скорость на обратном пути: 10 + 10 = 20 км/ч.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 5.

Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 75, BC = 21, CF : DF = 7 : 2.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 7:2 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 7:2 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (2·21 + 7·75) / (7+2).

Шаг 3. EF = (42 + 525) / 9 = 567 / 9 = 63.

Ответ: 63.

Правильный ответ: 63

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 112° − 90° = 22°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 113° − 90° = 23°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 22° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 23° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 23° = 67°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 67° − 22° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 10 / sin(45°) = 10√2.

Ответ: 10√2.

Правильный ответ: 10√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.