Загрузка заданий...
Вариант 31 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,2 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | кухня |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 5, спальня — 7, кухня — 8.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 6578.
Ответ: 6578
2
Задание 2
1 балл
Плитка для пола размером 60 см на 60 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
Решение
По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,36 = 55,44 кв. м.
Площадь одной плитки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.
Нужно элементов: 55,44 / 0,36 = 154.
В одной упаковке 6 штук, значит понадобится 26 упаковок.
Ответ: 26.
Ответ: 26
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.
Значит, площадь равна 36 · 0,36 = 12,96 кв. м.
Ответ: 12,96.
Ответ: 12,96
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.
Ответ: 500.
Ответ: 500
5
Задание 5
1 балл
| Модель | Вместимость барабана (кг) | Тип загрузки | Стоимость (руб.) | Стоимость подключения (руб.) | Стоимость доставки (% от стоимости машины) | Габариты (высота × ширина × глубина, см) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | 7 | верт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Б | 5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| В | 5 | фронт. | 25 000 | 5 000 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| Г | 6,5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 44 |
| Д | 6 | фронт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Е | 6 | верт. | 27 600 | 2 300 | бесплатно | 89 × 60 × 40 |
| Ж | 6 | верт. | 27 585 | 1 900 | 10 | 89 × 60 × 40 |
| З | 6 | фронт. | 20 000 | 6 300 | 15 | 85 × 60 × 42 |
| И | 5 | фронт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
| К | 5 | верт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой, не превосходящую 85 см по высоте.
Решение
Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.
Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.
Модель К: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.
Наименьшая стоимость у модели К: 28 800 руб.
Ответ: 28 800.
Ответ: 28800
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : \frac{2}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} : \frac{2}{3}\).
Последовательно выполняем действия (деление):
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) : \frac{2}{3} = \frac{3}{4}\).
Получили дробь \(\frac{3}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,75\).
Ответ: \(0,75\).
Ответ: 0,75
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-19}{4}\) ≈ -4,75
2) \(\frac{-5}{2}\) ≈ -2,5
3) 2,247 ≈ 2,247
4) \(\sqrt{8}\) ≈ 2,8284
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)$$
Решение
Вычислим выражение: (√6 - 1)(√6 + 1).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√6)² - 1² = 6 - 1 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 1 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 1 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = -1.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 0² - 4·1·-1 = 4.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (0 - √4) / 2 = -1
x₂ = (0 + √4) / 2 = 1
Ответ: -1;1
Ответ: -1;1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Костя не выучил 29 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 21 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{50}\) = 0,42.
Ответ: 0,42.
Ответ: 0,42
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1500 кг обладает кинетической энергией 75 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 75·1000 = 75 000 Дж.
v = √(2·75 000/1500) = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
x - 9 < -5x - 9
Решение
Решим неравенство: x - 9 < -5x - 9.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 6x < 0.
Делим обе части на 6: x < 0.
Значит, x меньше 0.
Этому соответствует промежуток (-∞;0).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 6-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 7-го уже меньше.
Ответ: 7.
Ответ: 7
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 24, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.\nS = \(\frac{1}{2}\) · 24 · 17 = 408/2 = 204.\nОтвет: 204.
Ответ: 204
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.\nСледовательно, ∠CBD = 70°.\nЛуч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.\nПоэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 54° - 70° = -16°.\nОтвет: -16.
Ответ: -16
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Диагональ квадрата равна a√2.\nd = 8√2 · √2 = 16.\nОтвет: 16.
Ответ: 16
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.\nПо клеткам AC = 8.\nСредняя линия равна 8 / 2 = 4.\nОтвет: 4.
Ответ: 4
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-11)^2<\sqrt{5}(x-11)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-11)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-11)^2-\sqrt{5}(x-11)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-11)\bigl[(x-11)-\sqrt{5}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=11\) и \(x=11+\sqrt{5}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((11;\; 11+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (11;11+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 60 кг получается раствор с концентрацией 33%:
40·x + 20·y = 60·0,33 = 19,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 47%:
(x + y)/2 = 0,47 ⟹ x + y = 0,94 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,94 − x. Подставляем в (1):
40·x + 20·(0,94 − x) = 19,8
40x + 18,8 − 20x = 19,8
20x = 1 ⟹ x = 0,05.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 40·0,05 = 2 кг.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=8/5 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=8/5 \), откуда \( k=25/64 \).
Ответ: \(\frac{25}{64}\).
Правильный ответ: 25/64
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 18, AC = 45, NC = 30.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{18}{45}\) = \(\frac{2}{5}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{2}{5}\), то есть BN = 2·BC/5.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 30.
Подставляем: BN = 2·(BN + 30)/5.
5·BN = 2·BN + 2·30.
(5−2)·BN = 60 ⟹ BN = 60/(5−2) = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.
Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):
∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.
Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести координаты с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы.
Шаг 1. Пусть медиана AD и биссектриса BE пересекаются в точке O.
Введём систему координат: O = (0,0), D на оси Ox, E на оси Oy (AD ⊥ BE).
|AD| = |BE| = 28, значит D = (14, 0), E = (0, 14).
Шаг 2. A = (-L/2, 0) = противоположный конец медианы.
D — середина BC, E делит AC по теореме о биссектрисе в отношении AB:BC.
Шаг 3. Из условий симметрии и теоремы о биссектрисе находим вершины треугольника.
Отношения сторон: AB : BC : CA = √13 : 2√13 : 3√5.
Шаг 4. Масштабирование: коэффициент = \(\frac{28}{4}\) = 7.
Стороны: 7√13; 14√13; 21√5.
Ответ: 7√13; 14√13; 21√5.
Правильный ответ: 7√13; 14√13; 21√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: