Два уравнения в фигурной скобке и два неизвестных. Решается двумя способами —
подстановкой и сложением, — и главное умение здесь не счёт, а выбор:
какой способ в этой системе быстрее.
Коротко: если в одном уравнении переменная стоит
отдельно ($y = \ldots$) — подстановка. Если коэффициенты при одной переменной
противоположны или легко уравниваются — сложение. Ответ записывается парой $(x;y)$.
Главное
Что значит «решить систему»
Решение системы — это пара чисел, которая подходит сразу в оба
уравнения. Не одно число, а именно пара: своё значение для икса и своё для игрека.
Проверка на примере
Пара $(2;\,3)$ для системы $\begin{cases}x + y = 5\\ x - y = -1\end{cases}$:
в первое подставили — $2+3=5$, верно; во второе — $2-3=-1$, тоже верно.
Значит пара найдена правильно.
Самая обидная потеря балла в этом типе: нашли икс и остановились.
Без игрека ответ неполный, даже если икс верный.
Выбор способа
Подстановка или сложение
Когда подстановка
Одна переменная уже выражена
Если видите $y = 2x - 1$ или $x = 7 - y$ —
берите подстановку: готовое выражение просто вставляется во второе уравнение.
Выражать самому тоже можно, если коэффициент равен единице.
Когда сложение
Коэффициенты противоположны или уравниваются
Если при одной переменной стоят $+3y$ и $-3y$ —
складывайте уравнения, переменная исчезнет сама. Если стоят $2y$ и $4y$ —
домножьте первое на 2 и получите тот же случай.
Система
Способ
Почему
$\begin{cases}y = 3x - 1\\ 2x + y = 9\end{cases}$
подстановка
игрек уже выражен — подставляем в второе
$\begin{cases}x + 2y = 8\\ x - 2y = 0\end{cases}$
сложение
$+2y$ и $-2y$ уничтожатся при сложении
$\begin{cases}3x + y = 7\\ 5x - 2y = 8\end{cases}$
любой
игрек легко выразить из первого; или домножить первое на 2 и сложить
Здесь два разных действия, и путать их не нужно. 1. Подстановка выражения. Выражение одной переменной подставляют в другое
уравнение системы — тогда останется уравнение с одной переменной. Если вернуть выражение
в то же уравнение, из которого его получили, выйдет тождество вроде $0 = 0$. 2. Подстановка найденного числа. Когда значение $x$ уже найдено, его можно
подставить в любое исходное уравнение и спокойно найти $y$.
Способ 2
Сложение по шагам
Посмотрите на коэффициенты при одной из переменных.
При необходимости домножьте одно (или оба) уравнения так, чтобы они стали
противоположными: $+6y$ и $-6y$.
Сложите уравнения почленно — одна переменная исчезнет.
Найдите оставшуюся переменную, подставьте её в любое исходное уравнение
и найдите вторую.
Такую систему можно решить и вычитанием: тогда исчезнет икс,
и мы сразу найдём игрек. Оба пути законны.
Прототип 3. С домножением
$\begin{cases}3x + 2y = 16\\ x - y = 2\end{cases}$
При игреках стоят $+2$ и $-1$ — противоположными их сделает домножение.
Умножаем второе уравнение на $2$ целиком, вместе с правой частью:
$2x - 2y = 4$.
Складываем с первым почленно: $3x + 2y + 2x - 2y = 16 + 4$, то есть $5x = 20$.
Отсюда $x = 4$.
Подставляем во второе исходное уравнение: $4 - y = 2$, значит $y = 2$.
Вот ради чего домножают: после умножения на $2$ игреки стали
противоположными и исчезли при сложении, а решение свелось к одному действию.
Ошибки
Типичные ошибки
Находят одну переменную и останавливаются. В ответе нужна
пара $(x;y)$ — за половину ответа балл не ставят.
При домножении забывают правую часть. Умножать нужно каждое
слагаемое и число справа.
Путают два шага подстановки. Выражение переменной нужно
подставить в другое уравнение системы, иначе получится тождество. А вот уже найденное
число можно подставлять в любое исходное уравнение — это законно и часто быстрее.
Путают порядок в ответе. Пара пишется как $(x;y)$:
сначала икс, потом игрек.
Складывают уравнения, когда коэффициенты не противоположны.
Из $2y$ и $3y$ при сложении получится $5y$ — переменная не исчезнет,
и решение не упростится.
Тренировка
Задания для самостоятельного решения
$\begin{cases}x + y = 10\\ x - y = 4\end{cases}$
$\begin{cases}y = 2x - 3\\ x + y = 9\end{cases}$
$\begin{cases}2x + y = 11\\ x - y = 1\end{cases}$
$\begin{cases}3x - 2y = 4\\ x + 2y = 12\end{cases}$