Математика
Про экзамен: структура, баллы, варианты Узнать свой балл Варианты ОГЭ Каталог заданий Разбор заданий Математика 5–9 Устный счёт за минуту
Физика
Физика, 7 класс Виртуальные лаборатории Как решать задачи
Подписка
Купить подписку Активировать код
Вход
Войти как ученик Войти как учитель Узнать свой балл
Задание №9 ОГЭ · Тип 2 из 4

Квадратные уравнения в задании №9 ОГЭ

Уравнение с иксом в квадрате решается по одной схеме: привести к стандартному виду, выписать $a$, $b$, $c$, посчитать дискриминант и корни. Ниже — каждый шаг отдельно, пошаговый решатель и задания с ответами.

Коротко: приводим к виду $ax^2 + bx + c = 0$, считаем $D = b^2 - 4ac$. Если $D > 0$ — два корня $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, если $D = 0$ — один корень $x = \dfrac{-b}{2a}$, если $D < 0$ — действительных корней нет.

Шаг 1

Как узнать квадратное уравнение

Признак один: после раскрытия скобок и приведения подобных остаётся икс в квадрате. Скобки, дроби с числами в знаменателе и минусы на тип не влияют.

ЗаписьКвадратное?Почему
$x^2 - 7x + 10 = 0$дауже в стандартном виде
$3x^2 = 12$данеполное: $b = 0$, но квадрат есть
$(x-2)(x+5) = 0$дапосле раскрытия появится $x^2$
$x^2 + 3x = x^2 - 4$нетквадраты сократятся, останется линейное
$\dfrac{6}{x} = x + 1$нетикс в знаменателе — рациональное
Предпоследняя строка — любимая ловушка составителей. Всегда сначала переносите всё в одну часть: если $x^2$ исчез, дискриминант считать не нужно.
Шаг 2

Стандартный вид и коэффициенты a, b, c

Стандартный вид — это $ax^2 + bx + c = 0$: сначала квадрат, потом икс, потом число, справа ноль. Коэффициенты берутся вместе со знаком.

  1. Раскройте скобки, если они есть.
  2. Перенесите всё в левую часть, меняя знак у перенесённого.
  3. Приведите подобные.
  4. Выпишите $a$, $b$, $c$ — со знаками.
Пример

$5x - 3 = 2x^2$ → переносим: $-2x^2 + 5x - 3 = 0$ → умножаем на $-1$ для удобства: $2x^2 - 5x + 3 = 0$. Здесь $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$.

Умножать обе части на $-1$ можно всегда — корни от этого не меняются, зато $a$ становится положительным и считать проще.
Уравнениеabc
$x^2 - 6x + 8 = 0$1−68
$3x^2 + x = 0$310
$x^2 - 9 = 0$10−9
$-x^2 + 4x - 4 = 0$−14−4
Тренажёр

Найди коэффициенты

Здесь проверяется только один навык — увидеть $a$, $b$, $c$ со знаками.

Шаг 3

Дискриминант и три случая

$D = b^2 - 4ac$ — это выражение под корнем. Оно и решает, сколько будет корней.
Квадрат $b^2$ не может быть отрицательным. Точнее: $b^2$ всегда неотрицательно — при $b \ne 0$ оно положительно, а при $b = 0$ равно нулю. При $b = -5$ получаем $b^2 = 25$, а не $-25$. Это ошибка номер один во всей теме.
Если $D$ — точный квадрат ($1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$), корни получатся «красивые». В задании №9 так почти всегда: некрасивый дискриминант — повод перепроверить коэффициенты.
Интерактив

Решаем по шагам

Уравнение каждый раз новое. Проходите шаги по очереди: коэффициенты → дискриминант → корни. Следующий шаг открывается, когда предыдущий сделан верно.

…
Шаг 1 · коэффициенты
Прототипы

Три разобранных прототипа

Прототип 1. Полное уравнение, два корня

Решите уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

  1. $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
  2. $D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1$.
  3. $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ — то есть $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
  4. Проверка: $2\cdot3 = 6 = c$, $2+3 = 5 = -b$. Сходится.
Здесь быстрее было бы по теореме Виета: ищем два числа, дающих в сумме $5$ и в произведении $6$. Это $2$ и $3$ — устно, без дискриминанта.

Прототип 2. Неполное уравнение

Решите уравнение $3x^2 - 12x = 0$.

  1. Здесь $c = 0$. Дискриминант не нужен: выносим общий множитель.
  2. $3x(x - 4) = 0$ — произведение равно нулю, когда один из множителей ноль.
  3. $x = 0$ или $x = 4$.
Частая потеря: делят обе части на $x$ и получают только $x = 4$. Корень $x = 0$ при этом теряется — делить на икс нельзя, он может быть нулём.

Прототип 3. Со скобками, приводим к стандартному виду

Решите уравнение $(x+3)(x-1) = 5$.

  1. Раскрываем: $x^2 + 2x - 3 = 5$.
  2. Переносим: $x^2 + 2x - 8 = 0$.
  3. $D = 4 + 32 = 36$, значит $\sqrt{D} = 6$.
  4. $x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$ → $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.
Здесь нельзя приравнивать скобки к пятёрке по отдельности. Правило «произведение равно нулю» работает только с нулём справа.
Ошибки

Типичные ошибки со знаками

$b^2$ считают со знаком минус. При $b=-7$: $b^2 = 49$, а не $-49$.
Теряют минус в $-b$. При $b=-5$ числитель равен $+5$: $\dfrac{5 \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Путают знак $c$. В $x^2 - 6x - 7 = 0$ коэффициент $c = -7$, и тогда $-4ac = +28$, дискриминант растёт, а не уменьшается.
Делят только числитель. На $2a$ делится всё выражение $-b \pm \sqrt{D}$, а не одна его часть.
Пишут два одинаковых корня при $D=0$. В ответ идёт одно число.

Отдельная страница с разбором ошибок по этой теме: типичные ошибки в квадратных уравнениях →

Тренажёр

Поймай ошибку в решении

Тренировка

Задания для самостоятельного решения

  1. $x^2 - 8x + 15 = 0$
  2. $x^2 + 2x - 24 = 0$
  3. $2x^2 - 7x + 3 = 0$
  4. $x^2 - 10x + 25 = 0$
  5. $5x^2 - 20 = 0$
  6. $x^2 + 4x + 9 = 0$
  7. $(x-4)(x+2) = 7$
  8. $3x^2 = 5x$
Показать ответы с разбором
1. $x=3$; $x=5$. $D=64-60=4$.
2. $x=-6$; $x=4$. По Виета: сумма $-2$, произведение $-24$.
3. $x=0{,}5$; $x=3$. $D=49-24=25$, $x=\dfrac{7\pm5}{4}$.
4. $x=5$ — один корень, $D=0$.
5. $x=-2$; $x=2$. Неполное: $x^2=4$.
6. Корней нет: $D=16-36=-20<0$.
7. $x=-3$; $x=5$. Раскрываем и переносим: $x^2-2x-15=0$.
8. $x=0$; $x=\dfrac{5}{3}$. Переносим и выносим: $x(3x-5)=0$.
Проверка

Как убедиться, что ответ верный

Куда дальше

Тренировка и теория

Тренировать квадратные уравнения Школьная теория, 8 класс

← Общий разбор задания №9

Другие типы этого задания: линейные · рациональные · системы.

↑ Наверх