Икс стоит в знаменателе — значит появляется то, чего нет в других типах:
запрещённые значения. Решить такое уравнение мало, нужно ещё проверить,
годятся ли найденные корни. Именно на этой проверке теряют балл чаще всего.
Коротко: сначала выписываем, при каких иксах
знаменатель обращается в ноль (эти значения запрещены), решаем уравнение обычным способом,
а в конце вычёркиваем те корни, которые попали в запрещённые.
Главное
Что такое ОДЗ и зачем оно нужно
ОДЗ — область допустимых значений — это все числа, которые вообще можно
подставить вместо икса. В дробях запрет один: на ноль делить нельзя.
Значит, любое значение, обнуляющее знаменатель, из ответа исключается.
Можно
$\dfrac{6}{x-3}$ при $x = 5$:
знаменатель равен $2$, дробь равна $3$. Обычное число.
Нельзя
$\dfrac{6}{x-3}$ при $x = 3$:
знаменатель равен $0$. Такой дроби не существует — ни на бумаге, ни в калькуляторе.
Поэтому ОДЗ пишут до решения, а не после: это не формальность,
а список чисел, которые заведомо не могут быть ответом.
Как найти ОДЗ: приравняйте каждый знаменатель к нулю, решите — получатся
запрещённые значения. Их записывают со значком $\ne$.
Уравнение
Запрещено
Почему
$\dfrac{5}{x-2} = 1$
$x \ne 2$
при $x=2$ знаменатель ноль
$\dfrac{x}{x+4} = 3$
$x \ne -4$
$x+4=0$ при $x=-4$
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-1} = 2$
$x \ne 0$, $x \ne 1$
знаменателей два — запретов тоже два
$\dfrac{x^2-9}{x-3} = 0$
$x \ne 3$
и это важно: $x=3$ обнуляет и числитель, и знаменатель
Почему так
Откуда берутся посторонние корни
На ОДЗ общий знаменатель не равен нулю, поэтому умножение обеих частей
на него — равносильное преобразование. Но у получившегося уравнения могут быть
решения, лежащие вне ОДЗ: они подходят преобразованному уравнению, а в исходном
смысла не имеют, потому что обращают знаменатель в ноль. Такие решения и называют
посторонними, и их обязательно исключают.
Обратите внимание: дело не в самом умножении, а в том, что вместе с дробями
из записи пропадают исходные ограничения. Поэтому ОДЗ выписывают заранее — чтобы было
куда вернуться.
Как это выглядит
$\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель ноль:
$x^2 - 9 = 0$, то есть $x = 3$ или $x = -3$.
Но $x = 3$ запрещён: он обнуляет знаменатель. Подставим и увидим $\dfrac{0}{0}$ —
выражения не существует. Ответ: $x = -3$. Один корень, а не два.
Именно этот прототип чаще всего и стоит в задании №9.
Составители специально подбирают числа так, чтобы «лишний» корень выглядел
совершенно нормальным.
Алгоритм
Порядок решения
Выписать ОДЗ. Каждый знаменатель приравнять к нулю и решить —
это запрещённые значения.
Избавиться от дробей. Умножить обе части на общий знаменатель
(или, если дробь одна и равна нулю, просто приравнять числитель к нулю).
Решить получившееся линейное или квадратное уравнение.
Сверить с ОДЗ. Каждый корень сравнить с запрещёнными значениями.
Совпал — вычеркнуть.
Записать ответ из уцелевших корней.
Шаг 4 занимает пять секунд, а стоит целый балл. Привыкните
возвращаться к строчке с ОДЗ — она для этого и написана в самом начале.
Интерактив
Решаем по шагам
Уравнение вида $\dfrac{x^2 - p}{x - q} = 0$. Сначала укажите запрещённое
значение, потом корни числителя, потом итоговый ответ.
…
Шаг 1 · ОДЗ
Шаг 2 · корни числителя
Шаг 3 · ответ
Прототипы
Три разобранных прототипа
Прототип 1. Дробь равна нулю
Решите уравнение $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5} = 0$.
ОДЗ: $x - 5 \ne 0$, значит $x \ne 5$.
Дробь равна нулю, когда числитель ноль: $x^2 - 25 = 0$, откуда $x = \pm 5$.
Общий знаменатель $x(x-2)$. Умножаем на него обе части:
$2(x-2) + x = x(x-2)$.
Раскрываем скобки: $2x - 4 + x = x^2 - 2x$.
Переносим всё влево: $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Раскладываем на множители: $(x-1)(x-4) = 0$, откуда $x = 1$ или $x = 4$.
Тот же ответ даёт дискриминант: $D = 25 - 16 = 9$.
Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: $1$ и $4$.
Проверка подстановкой: при $x = 1$ получаем $2 + (-1) = 1$,
при $x = 4$ — $0{,}5 + 0{,}5 = 1$. Оба равенства верны.
Тренажёр
Найди запрещённое значение
Тренажёр
Какой корень нужно выбросить
Ошибки
Типичные ошибки
Не пишут ОДЗ вовсе. Тогда посторонний корень попадает в ответ,
и задание засчитывается как неверное — даже если вся арифметика правильная.
Пишут ОДЗ, но не сверяются в конце. Строчка есть, а решение
заканчивается на «нашли корни». Возвращайтесь к ней всегда.
Находят ОДЗ по числителю. Запрет даёт только знаменатель;
числитель может быть нулём — это как раз то, что нам нужно.
Вычёркивают оба корня «на всякий случай». Вычёркивается
только тот, что совпал с запрещённым значением.
Сокращают дробь до проверки. В $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ соблазн
сократить до $x+3$ велик, но тогда запрет $x \ne 3$ исчезает из виду — и вместе с ним
правильный ответ.
Тренировка
Задания для самостоятельного решения
$\dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = 0$
$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$
$\dfrac{10}{x - 3} = 5$
$\dfrac{x}{x + 2} = 3$
$\dfrac{x^2 - 4x}{x} = 0$
$\dfrac{6}{x} = x - 1$
При каких $x$ выражение $\dfrac{5}{x^2 - 9}$ не имеет смысла?
$\dfrac{x^2 + 2x}{x + 2} = 0$
Показать ответы с разбором
1. $x = -4$. Корни числителя $\pm4$, но $x=4$ запрещён.
5. $x = 4$. Числитель $x(x-4) = 0$ даёт $0$ и $4$, но $x = 0$ запрещён.
6. $x = -2$; $x = 3$. Умножаем на $x$: $6 = x^2 - x$, то есть $x^2 - x - 6 = 0$. Ноль в корни не попал — оба годятся.
7. При $x = 3$ и $x = -3$: именно они обнуляют знаменатель.
8. $x = 0$. Числитель $x(x+2)$ даёт $0$ и $-2$, но $x = -2$ запрещён.
Проверка
Как убедиться, что ответ верный
Подставьте корень в знаменатель. Если получился ноль — корень посторонний,
вычёркиваем. Это главная проверка типа.
Подставьте корень в исходное уравнение целиком. Обе части должны совпасть.
Сосчитайте, сколько корней осталось. Если после проверки не осталось
ни одного допустимого корня, уравнение не имеет решений. Это законный итог,
а не признак ошибки; при выполнении экзаменационного задания следуйте указанию
о формате ответа в его условии.