Самый частый и самый безобидный тип: икс в первой степени, никаких квадратов
и знаменателей с иксом. Решается в два действия — собрать иксы слева, числа справа
и поделить. Всё остальное — аккуратность со знаками.
Коротко: раскрыть скобки → перенести слагаемые с иксом
в одну часть, числа в другую (меняя знак у перенесённого) → привести подобные →
поделить обе части на коэффициент при иксе.
Шаг 1
Как узнать линейное уравнение
Икс встречается только в первой степени и только в числителе.
Скобки и дроби с числами в знаменателе не мешают — это по-прежнему линейное уравнение.
Запись
Линейное?
Почему
$7x - 4 = 3x + 8$
да
икс в первой степени с обеих сторон
$5(x-2) = 3x$
да
скобки раскроются, квадрата не появится
$\dfrac{x}{3} + 2 = \dfrac{x-1}{2}$
да
в знаменателях числа, а не икс
$x^2 + 3x = x^2 - 4$
да
квадраты сократятся — останется линейное
$\dfrac{6}{x} = 2$
нет
икс в знаменателе — рациональное
Четвёртая строка встречается в ОГЭ регулярно и пугает видом. Перенесите
всё влево: $x^2 + 3x - x^2 + 4 = 0$, квадраты уходят, остаётся $3x + 4 = 0$.
Шаг 2
Перенос слагаемых и знаки
Главное правило: слагаемое, перенесённое через знак равенства,
меняет знак на противоположный. Это не магия — мы просто вычитаем из обеих частей
одно и то же.
Что происходит на самом деле
$7x - 4 = 3x + 8$. Вычитаем $3x$ из обеих частей: слева $7x - 3x - 4$, справа $8$.
Прибавляем $4$ к обеим частям: $4x = 12$. Со стороны это выглядит так, будто
$3x$ «перешло с минусом», а $-4$ — «с плюсом».
Переносим слагаемые целиком, вместе с их знаком: было $-4$, стало $+4$.
Знак меняется только у перенесённого. Остальные остаются как были.
Множитель переносить нельзя: в $3x = 12$ тройка не «переходит с минусом»,
на неё делят.
Типичная потеря: переносят $-4$ и пишут $7x = 3x + 8 - 4$.
Знак не изменён — ответ поедет.
Шаг 3
Деление на коэффициент
После приведения подобных остаётся $kx = m$. Делим обе части на $k$ —
и это последнее действие.
$kx = m \;\Rightarrow\; x = \dfrac{m}{k}$. Если $k$ отрицательный, знак ответа меняется:
$-5x = 10 \Rightarrow x = -2$.
Ответ не обязан быть целым. $4x = 6$ даёт $x = 1{,}5$ — это нормальный ответ ОГЭ.
$0\cdot x = 5$ — равенство невозможно, поэтому уравнение не имеет решений:
ноль, умноженный на что угодно, пятёркой не станет.
$0\cdot x = 0$ — равенство верно при любом $x$, поэтому уравнение имеет
бесконечно много решений.
Шаг 4
Дробные коэффициенты
Если в уравнении есть дроби с числами в знаменателе, от них избавляются
в один приём: умножают обе части и каждое слагаемое на общий знаменатель.
Пример
$\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-1}{2} = 4$. Общий знаменатель $6$, умножаем всё на него:
$2x + 3(x-1) = 24$. Дальше обычное линейное: $2x + 3x - 3 = 24$,
$5x = 27$, $x = 5{,}4$.
Забывают умножить свободный член. В примере выше четвёрка
тоже умножается на $6$ и становится $24$. Если её пропустить, ответ будет неверным.
Теряют скобки у числителя. $\dfrac{x-1}{2}$ при умножении
на $6$ даёт $3(x-1)$, а не $3x - 1$.
Десятичные дроби убираются так же: умножением на $10$, $100$…
Например, $0{,}2x + 1 = 0{,}5x$ → умножаем на $10$: $2x + 10 = 5x$.
Интерактив
Тренажёр: реши линейное уравнение
Уравнение каждый раз новое. Ответ может быть целым или конечной
десятичной дробью. Десятичный разделитель — запятая или точка.
Общий знаменатель $6$, умножаем обе части: $2(2x-1) = 3(x+4)$.
Раскрываем: $4x - 2 = 3x + 12$.
Переносим: $4x - 3x = 12 + 2$, значит $x = 14$.
Если слева и справа находится ровно по одной дроби, можно
воспользоваться умножением крест-накрест. Это сокращённая запись умножения обеих
частей на общий знаменатель. Если кроме дробей есть отдельные слагаемые, нужно
умножить на общий знаменатель всё уравнение и каждое его слагаемое.
8. $x = -3$. Делим на $-7$: знак ответа отрицательный.
Проверка
Как убедиться, что ответ верный
У линейного уравнения проверка занимает десять секунд и работает всегда:
подставьте найденное число вместо икса в исходное уравнение и посчитайте
обе части по отдельности. Совпали — ответ верный.
Пример проверки
Нашли $x = 2$ для $5 - 2(x-3) = 4x - 1$. Слева: $5 - 2(2-3) = 5 + 2 = 7$.
Справа: $4\cdot2 - 1 = 7$. Совпало — можно записывать в бланк.
Подставлять нужно именно в исходное уравнение, а не в то,
что получилось после переносов: если ошибка была допущена на первом шаге,
проверка её не заметит.