Загрузка заданий...
Вариант 32 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 26.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | жилой дом | баня | гараж | теплица |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.
Получаем последовательность: 7425.
Ответ: 7425
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.
Ответ: 7.
Ответ: 7
3
Задание 3
1 балл
Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.
Решение
По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.
Ответ: 36.
Ответ: 36
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.
Решение
Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.
Ответ: 29.
Ответ: 29
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 20 000 руб. | 15 370 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,9 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 14 000 руб. | 4,9 кВт | 4,2 руб./(кВт·ч) |
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.
Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.
Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.
Ответ: 500.
Ответ: 500
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{4}{5}) \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{25}\).
Шаг 2: \((\frac{4}{5}) - \frac{12}{25} = \frac{8}{25}\).
Получили дробь \(\frac{8}{25}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,32\).
Ответ: \(0,32\).
Ответ: 0,32
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами \(-\frac{37}{20}\) и 1,9?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа \(-\frac{37}{20}\) и 1,9. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(\frac{39}{25}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)$$
Решение
Вычислим выражение: (√10 - 3)(√10 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√10)² - 3² = 10 - 9 = 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + x - 2 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + x - 2 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -2.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 1² - 4·1·-2 = 9.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-1 - √9) / 2 = -2
x₂ = (-1 + √9) / 2 = 1
Ответ: -2;1
Ответ: -2;1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 40 билетов, Яша не выучил 19 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 21 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{40}\) = 0,525.
Ответ: 0,525.
Ответ: 0,525
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k > 0, b > 0
Б) k < 0, b > 0
В) k > 0, b < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0001 и U = 12 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·12² / 2 = 0,0072.
Ответ: 0,0072.
Ответ: 0,0072
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-3x - 3 > -9x + 12
Решение
Решим неравенство: -3x - 3 > -9x + 12.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 6x > 15.
Делим обе части на 6: x > 2,5.
Значит, x больше 2,5.
Этому соответствует промежуток (2,5;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 25, d = -3.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 9.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 9·(25 + 1)/2 = 117.
Ответ: 117.
Ответ: 117
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 5/6, AB = 18. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 18 · \(\frac{5}{6}\) = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.
Значит, a = 2r√3 = 2 · 2√3 · √3 = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Острый угол равен 40°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.
Тупой угол ромба равен 180° - 40° = 140°.
Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 140° / 2 = 70°.
Ответ: 70.
Ответ: 70
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 6, высота равна 3.
S = 6 · 3 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2-5x=y,\\8x-10=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(4x^2-5x=8x-10\).
Шаг 2. Переносим влево: \(4x^2-13x+10=0\).
Шаг 3. Разложим: \((4x-5)(x-2)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{5}{4}\) или \(x=2\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{5}{4}\): \(y=8\cdot\dfrac{5}{4}-10=0\).
При \(x=2\): \(y=8\cdot2-10=6\).
Ответ: \(\left(\dfrac{5}{4};\,0\right);\ (2;\,6)\).
Правильный ответ: (5/4;0);(2;6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 16) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/(x−16) мин, второй — 105/x мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:
105/(x−16) − 105/x = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x−16):
105·x − 105·(x−16) = 4·x·(x−16).
1680 = 4·x² − 64·x.
4x² − 64x − 1680 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.
x = (64 + 176) / (2·4) = 30 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = \(\frac{15}{2}\) мин, вторая — 105/30 = \(\frac{7}{2}\) мин.
\(\frac{15}{2}\) − \(\frac{7}{2}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 4. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 4.
Проверка: при m = 4 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 24, AC = 56, NC = 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{24}{56}\) = \(\frac{3}{7}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{3}{7}\), то есть BN = 3·BC/7.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 24.
Подставляем: BN = 3·(BN + 24)/7.
7·BN = 3·BN + 3·24.
(7−3)·BN = 72 ⟹ BN = 72/(7−3) = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка M равноудалена от S и T
⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.
Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.
Следовательно, MN ⟂ ST. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 39 и CD = 6 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 39² + 6² + 39·6 = 3R².
1791 = 3R² ⟹ R² = 1791/3.
R = √597.
Ответ: √597.
Правильный ответ: √597
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.