Загрузка заданий...
Вариант 40 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
| Мобильный интернет | 2 ГБ | 2,5 ГБ | 4 ГБ | 3,5 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 31242.
Ответ: 31242
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 430 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 180 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$1,5 + 1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(1,5 + 1\).
Последовательно выполняем действия (сложение):
Шаг 1: \((1,5) + 1 = 2,5\).
Ответ: \(2,5\).
Ответ: 2,5
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -0,5, \(\frac{\sqrt{17}}{2}\), \(\frac{41}{13}\), \(\frac{35}{8}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 3 и 4.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -0,5 ≈ -0,5
2) \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) ≈ 2,0616
3) \(\frac{41}{13}\) ≈ 3,1538
4) \(\frac{35}{8}\) ≈ 4,375
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 5)(\sqrt{8} + 5)$$
Решение
Вычислим выражение: (√8 - 5)(√8 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√8)² - 5² = 8 - 25 = -17.
Ответ: -17.
Ответ: -17
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 3 + 4(-3x - 7) = -x - 3
Решение
Решим уравнение: 3 + 4(-3x - 7) = -x - 3
Раскроем скобки:
3 + 4(-3x - 7) = -x - 3
3 - 12x - 28 = -x - 3
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-12x - 25 = -x - 3
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
-11x = 22
Разделим обе части на -11:
x = 22 / -11
x = -2
Ответ: -2
Ответ: -2
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 59 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 141 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 141/200 = 0,705.
Ответ: 0,705.
Ответ: 0,705
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = 2x - 4
Б) y = 1x² - 4
В) y = √x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -25 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -25 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-25) + 32 = -13.
Ответ: -13.
Ответ: -13
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 1)(x - 1) < 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -1 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 1) < 0 получаем решение (-1;1). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/12, BC = 48. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.\nЗначит, AC = BC · tg B = 48 · \(\frac{7}{12}\) = 28.\nОтвет: 28.
Ответ: 28
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 41°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.\nВ треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 41° = 49°.\nУглы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.\nСледовательно, ∠NMB = 49°.\nОтвет: 49.
Ответ: 49
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 146°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Решение
Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.\nСледовательно, искомый угол равен 146° / 2 = 73°.\nОтвет: 73.
Ответ: 73
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.\nПо клеткам основания равны 2 и 8.\nm = (2 + 8) / 2 = 5.\nОтвет: 5.
Ответ: 5
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: тупым может быть только один угол.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: делаем замену \(t=\frac{1}{x-2}\) — сводим к квадратному.
Шаг 1. После замены \(\frac{1}{(x-2)^2}=t^2\). Уравнение:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Обратная замена. Из \(\frac{1}{x-2}=t\) получаем \(x=2+\frac{1}{t}\).
Если \(t=3\): \(x-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}\).
Если \(t=-2\): \(x-2=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne2\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{3}{2};\quad \dfrac{7}{3}\).
Правильный ответ: 3/2;7/3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 216/x ч, вторым — 216/(x−9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
216/(x−9) − 216/x = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x−9):
216·x − 216·(x−9) = 4·x·(x−9).
1944 = 4·x² − 36·x.
4x² − 36x − 1944 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.
x = (36 + 180) / (2·4) = 27 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — 216/27 = 8 ч, второй — 216/18 = 12 ч.
12 − 8 = 4 = 4. ✓
Ответ: 27.
Правильный ответ: 27
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{7x-5}{7x^2-5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=5/7 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=5/7 \), откуда \( k=49/25 \).
Ответ: \(\frac{49}{25}\).
Правильный ответ: 49/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 6, AC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
6² + r² = (10 − r)².
36 + r² = 100 − 20r + r².
20r = 100 − 36 = 64.
r = \(\frac{64}{20}\) = 3.2.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{64}{10}\) = 6,4.
Ответ: 6,4.
Правильный ответ: 6,4
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁B₁ и CBB₁ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба угла дополняют угол A до 90°.
Шаг 1. CC₁ ⊥ AB, в △CC₁A: ∠ACC₁ = 90° − ∠A.
∠CC₁B₁ = 90° − ∠A.
Шаг 2. BB₁ ⊥ AC, в △BB₁A: ∠ABB₁ = 90° − ∠A.
∠CBB₁ = ∠ABB₁ = 90° − ∠A (т.к. B₁ лежит на AC).
Шаг 3. ∠CC₁B₁ = ∠CBB₁ = 90° − ∠A. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 7.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 7.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 7 + 7 = 14.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 6 · 14 = 84.
Ответ: 84.
Правильный ответ: 84
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: