Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/55 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.
Ответ: 215
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 215/55 R17?
Решение
В маркировке 215/55 R17 ширина шины равна 215 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 215 · 55 / 100 = 118.25 мм. Ответ: 118.25.
Ответ: 118.25
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 2.4.
Ответ: 2.4
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/55 R16 получаем диаметр 631.9 мм. Ответ: 631.9.
Ответ: 631.9
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/55 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и колеса 215/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,75 - \frac{1}{50}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,75 - \frac{1}{50}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,75) - \frac{1}{50} = 0,73\).
Получили результат \(0,73\).
Ответ: \(0,73\).
Ответ: 0,73
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -4,96 до \(\frac{12}{5}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\sqrt{3}\)
2
4,4
3
\(\frac{5}{2}\)
4
\(\sqrt{10}\)
Решение
Сравним числа -4,96 и \(\frac{12}{5}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\sqrt{3}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}$$
Проверка ОДЗ: x = -4, x != -9, условие выполняется.
Ответ: -4
Ответ: -4
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 40 чашек: 4 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 36 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{36}{40}\) = 0,9.
Ответ: 0,9.
Ответ: 0,9
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = -1x² + 2x + 3
Б) y = 1/x
В) y = 1.6666666666666667x - 1
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 41 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 41 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(41 − 32)/9 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
4x - 1 > 5x + 7
1
(8;+∞)
2
(-∞;-8)
3
(-∞;-6)
4
(-∞;0)
Решение
Решим неравенство: 4x - 1 > 5x + 7.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x < 8.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -1: x < -8.
Значит, x меньше -8.
Этому соответствует промежуток (-∞;-8).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 640 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 36 минут пройдёт 4 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 640·(\(\frac{1}{2}\))^4 = 40 мг.
Ответ: 40.
Ответ: 40
15Треугольники и их элементы1 балл
Высота равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 9√3.
Отсюда a / 2 = 9, значит a = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 22√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
По теореме синусов AB = 2R·sin C.
Следовательно, R = AB / (2 sin 120°).
Подстановка даёт R = 22.
Ответ: 22.
Ответ: 22
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов ромба равен 35°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 35° = 145°.
Ответ: 145.
Ответ: 145
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.
Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2
Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.
2) Верно: свойство биссектрисы угла.
3) Неверно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, не обязательно ромб.
Ответ: 12.
Ответ: 12
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2+2y^2=50,\\12x^2+8y^2=50x.\end{cases}\)
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 3 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.
Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 8) км/ч.
Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 7 км.
Длина круга = x + 7 км.
Шаг 3. Второй пробежал круг 3 мин назад, то есть за (1 − \(\frac{3}{60}\)) = 0,95 ч.
Длина круга = (x + 8) · 0,95 км.
Шаг 4. Приравниваем: x + 7 = (x + 8) · 0,95.
Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 12 км/ч.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 37, BC = 16, CF : DF = 5 : 2.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 5:2 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 5:2 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.
Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):
∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.
Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 12² = 144, AD·BC = 34·14 = 476.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
