Загрузка заданий...

Вариант 51 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.

Мобильный интернет	1,5 ГБ	2 ГБ	3,75 ГБ	1 ГБ
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 83117.

Ответ: 83117

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?

Решение

По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.

Ответ: 425

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?

Решение

По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.

Ответ: 4

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?

Решение

В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.

Ответ: 50

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	460 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	130 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	160 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.

Ответ: 350

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,04 : \frac{1}{50} \cdot 40$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,04 : \frac{1}{50} \cdot 40$.

Последовательно выполняем действия (деление, умножение):

Шаг 1: $(0,04) : \frac{1}{50} = 2$.

Шаг 2: $(2) \cdot 40 = 80$.

Получили результат $80$.

Ответ: $80$.

Ответ: 80

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-43}{9}$

-0,6

1,17

$\frac{\sqrt{19}}{2}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-43}{9}$ ≈ -4,7778

2) -0,6 ≈ -0,6

3) 1,17 ≈ 1,17

4) $\frac{\sqrt{19}}{2}$ ≈ 2,1794

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{4}$$

Решение

Вычислим выражение: 3√2 · 5√2 · √4.

Перемножим коэффициенты: 3 · 5 = 15.

Подкоренные выражения дают: √2 · √2 · √4 = √(2·2·4) = √(16) = 4.

Тогда всё выражение равно 15 · 4 = 60.

Ответ: 60.

Ответ: 60

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 4x - 5 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 4x - 5 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = -5.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 4² - 4·1·-5 = 36.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-4 - √36) / 2 = -5

x₂ = (-4 + √36) / 2 = 1

Ответ: -5;1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Олег не выучил 38 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 12 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{12}{50}$ = 0,24.

Ответ: 0,24.

Ответ: 0,24

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = 1x + 1

Б) y = 2x² + 14x + 24

В) y = 1/x

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,3 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,3 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,3 = 2 940.

Ответ: 2 940.

Ответ: 2 940

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 3)(x - 6) > 0

Решение

Нули выражения: x = -3 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 6) > 0 получаем решение (-∞;-3) ∪ (6;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,4 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.\nS = $\frac{1}{2}$ · 14 · 5 = $\frac{70}{2}$ = 35.\nОтвет: 35.

Ответ: 35

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.\nСледовательно, ∠CBD = 33°.\nЛуч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.\nПоэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 38° - 33° = 5°.\nОтвет: 5.

Ответ: 5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 62°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.\nИскомый угол равен 180° - 62° = 118°.\nОтвет: 118.

Ответ: 118

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка MC?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.\nM лежит на AC. По клеткам: AM=6, MC=3. AM=2·MC.\nОтвет: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $13a-8b+22$, если $\dfrac{3a-4b+6}{4a-3b+6}=4$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $13a-8b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-4b+6 = 4(4a-3b+6)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-4b+6 = 16a-12b+24$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 13a-8b+18$, откуда $13a-8b = -18$.

Шаг 4. Вычисляем: $13a-8b+22 = -18+22 = 4$.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 208-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 3) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 3 ч раньше:

208/x − 208/(x+3) = 3.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+3):

208·3 = 3·x·(x+3).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 3x² + 9x − 624 = 0.

Шаг 5. D = 7569, √D = 87.

x = (−9 + 87) / (2·3) = 13 (скорость второго).

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-7,25; -5; 5 $.

Ответ: $ -7,25; -5; 5 $.

Правильный ответ: -7,25; -5; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.

Шаг 1. Из условия задачи D = 8,4, AB = 4.

Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².

AC² − 8,4·AC − 4² = 0.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 8,4·AC − 16 = 0.

Положительный корень: AC = 10.

Проверка: D = (10² − 4²)/10 = $\frac{84}{10}$ = 8,4. ✓

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.

Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):

∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.

Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: ввести координаты с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы.

Шаг 1. Пусть медиана AD и биссектриса BE пересекаются в точке O.

Введём систему координат: O = (0,0), D на оси Ox, E на оси Oy (AD ⊥ BE).

|AD| = |BE| = 44, значит D = (22, 0), E = (0, 22).

Шаг 2. A = (-L/2, 0) = противоположный конец медианы.

D — середина BC, E делит AC по теореме о биссектрисе в отношении AB:BC.

Шаг 3. Из условий симметрии и теоремы о биссектрисе находим вершины треугольника.

Отношения сторон: AB : BC : CA = √13 : 2√13 : 3√5.

Шаг 4. Масштабирование: коэффициент = $\frac{44}{4}$ = 11.

Стороны: 11√13; 22√13; 33√5.

Ответ: 11√13; 22√13; 33√5.

Правильный ответ: 11√13; 22√13; 33√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2