Площадь круга

\(S=\pi R^2\)
\(R=3\): \(S=9\pi\approx28{,}26\)

Площадь круга — \(\pi\), умноженное на квадрат радиуса. В квадрат возводится только \(R\), а не \(\pi R\).

При \(R=3\) площадь \(9\pi\). Площадь измеряют в квадратных единицах: см², м².

Что спросить у класса

Какова площадь круга радиуса 10?
Что возводится в квадрат в формуле площади?

1 из 10

Откуда формула площади

режем круг на узкие секторы
складываем «почти прямоугольник»
стороны \(\pi R\) и \(R\) → \(S=\pi R\cdot R\)

Разрежем круг на много узких секторов и сложим их «ёлочкой»: остриём вверх, остриём вниз. Получится фигура, почти не отличимая от прямоугольника.

Её высота — радиус \(R\), а длина — половина окружности, \(\pi R\). Площадь \(\pi R\cdot R=\pi R^2\). Чем тоньше секторы, тем точнее прямоугольник.

Что спросить у класса

Почему длина «прямоугольника» — половина окружности?
Что будет, если секторов станет больше?

2 из 10

Радиус по площади

\(R^2=\dfrac{S}{\pi}\)
\(S=50{,}24\): \(R^2=16\), \(R=4\)
\(S=36\pi\): \(R=6\)

По площади сначала находим квадрат радиуса, потом извлекаем корень.

\(50{,}24:3{,}14=16\), \(R=4\). Частая ошибка — забыть корень и ответить 16.

Что спросить у класса

Каков радиус круга площадью 81π?
Какой шаг чаще всего пропускают?

3 из 10

Когда дан диаметр

\(d=10\) → \(R=5\)
\(S=\pi\cdot5^2=25\pi\) (не \(100\pi\))

Формула площади написана через радиус. Если дан диаметр, сначала делим его пополам.

Подставив диаметр вместо радиуса, получим \(100\pi\) — в четыре раза больше правильного. Проверка по картинке: круг с диаметром 10 помещается в квадрат площадью 100, значит его площадь меньше 100.

Что спросить у класса

Почему ошибка даёт ответ ровно в 4 раза больше?
Как проверить площадь круга через квадрат?

4 из 10

Во сколько раз изменится

\(R\) увеличили в 3 раза
длина — в 3 раза, площадь — в 9 раз

Длина окружности пропорциональна радиусу, а площадь — его квадрату.

Радиус больше в 3 раза — длина больше в 3 раза, а площадь в \(3^2=9\) раз. Это правило верно для любых подобных фигур: площади относятся как квадраты размеров.

Что спросить у класса

Во сколько раз уменьшится площадь, если радиус уменьшить вдвое?
Как изменится длина окружности?

5 из 10

Задача как в ОГЭ

длина окружности \(8\pi\). Найдите площадь круга, делённую на \(\pi\)
\(R=\dfrac{8\pi}{2\pi}=4\)
\(S=16\pi\) → ответ 16

В ОГЭ ответ часто просят дать делённым на \(\pi\), чтобы в бланке было целое число.

По длине находим радиус: 4. Площадь \(16\pi\), делим на \(\pi\) — в бланк пишем 16.

Что спросить у класса

Почему в бланк пишут 16, а не 16π?
Какой была бы площадь при длине 12π?

6 из 10

Самостоятельная работа

1) длина окружности при \(R=7\) 2) площадь круга при \(d=8\)
3) \(C=20\pi\) — радиус? 4) \(S=36\pi\) — радиус и длина окружности?
5) радиус увеличили вдвое — во сколько раз выросла площадь?
6) длина окружности \(10\pi\) — площадь круга?

Задания по нарастающей: прямые формулы, обратные задачи, изменение радиуса.

Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.

Что спросить у класса

Где пришлось делить диаметр пополам?
Как в шестом нашли радиус?

7 из 10

Частые ошибки

\(S=2\pi R^2\) ✗ — перепутаны формулы
подставили \(d\) вместо \(R\) ✗
\(R\) больше в 2 раза → \(S\) больше в 2 раза ✗

Главная ошибка — смешать две формулы: «два пи эр» — это длина, «пи эр квадрат» — площадь. Проверка единицами: длина в см, площадь в см².

Ещё две: подставить диаметр в формулу площади и считать, что площадь растёт так же, как радиус.

Что спросить у класса

Как по единицам отличить длину от площади?
Во сколько раз растёт площадь при удвоении радиуса?

8 из 10

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Показать классу

9 из 10

Главное

\(S=\pi R^2\).
Если дан диаметр — сначала радиус.
R увеличили в k раз — площадь выросла в k² раз.

10 из 10

Площадь круга