Обратные задачи и сегмент

Угол по площади сектора

\(S=15\pi,\ R=6\)
\(\dfrac{15\pi}{36\pi}=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\)
\(\alpha=150^\circ\)

Отношение площади сектора к площади круга равно отношению угла к \(360^\circ\). Отсюда находим угол.

\(\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\), и \(\frac{5}{12}\cdot360^\circ=150^\circ\).

Что спросить у класса

Каков угол, если сектор занимает четверть круга?
Какую часть круга составляет сектор 15π при R = 6?

1 из 10

Радиус по площади сектора

\(S=6\pi,\ \alpha=60^\circ\)
\(\dfrac{\pi R^2}{6}=6\pi\) → \(R^2=36\)
\(R=6\)

Если известны площадь и угол, находим площадь всего круга, а потом радиус.

Сектор \(60^\circ\) — шестая часть круга, значит весь круг \(36\pi\), \(R^2=36\), \(R=6\). Корень не забываем.

Что спросить у класса

Какова площадь всего круга в этой задаче?
Какой шаг легко пропустить?

2 из 10

Площадь через длину дуги

\(S=\dfrac{l\cdot R}{2}\)
\(l=4\pi,\ R=6\): \(S=\dfrac{4\pi\cdot6}{2}=12\pi\)

Если известна длина дуги, площадь сектора — половина произведения дуги на радиус. Это как площадь треугольника: «основание» — дуга, «высота» — радиус.

Проверка: дуга \(4\pi\) при \(R=6\) — это \(120^\circ\), и площадь такого сектора мы уже находили: \(12\pi\).

Что спросить у класса

На что похожа эта формула?
Какова площадь сектора с дугой 2π и R = 5?

3 из 10

Площадь в радианах

\(S=\dfrac{R^2\alpha}{2}\) (\(\alpha\) в радианах)
\(R=4,\ \alpha=\dfrac{\pi}{2}\): \(S=\dfrac{16\cdot\pi}{4}=4\pi\)

Подставим в \(S=\frac{lR}{2}\) длину дуги \(l=R\alpha\) — получится \(S=\frac{R^2\alpha}{2}\).

Проверка: \(\frac{\pi}{2}\) — это \(90^\circ\), четверть круга \(16\pi\) — те же \(4\pi\).

Что спросить у класса

Откуда взялась эта формула?
Какова площадь сектора с углом 1 радиан при R = 6?

4 из 10

Площадь сегмента

сегмент \(=\) сектор \(-\) треугольник
\(R=6,\ \alpha=90^\circ\): \(9\pi-\dfrac{6\cdot6}{2}=9\pi-18\)

Сегмент — часть круга между хордой и дугой. Его площадь — площадь сектора минус площадь треугольника, образованного радиусами и хордой.

При \(90^\circ\) треугольник прямоугольный с катетами по \(R\): \(\frac{36}{2}=18\). Сегмент \(9\pi-18\approx10{,}26\).

Что спросить у класса

Чем сегмент отличается от сектора?
Почему треугольник здесь прямоугольный?

5 из 10

Задача как в ОГЭ

№18: круг площадью 48, сектор с углом \(45^\circ\)
\(45^\circ\) — это \(\dfrac18\) круга
\(S=48:8=6\)

В задании №18 на клетчатой бумаге изображён круг площадью 48 и заштрихован сектор. Угол сектора видно по клеткам: \(45^\circ\) — половина прямого угла.

\(45^\circ\) — восьмая часть от \(360^\circ\), площадь сектора \(48:8=6\). Радиус и \(\pi\) здесь вообще не нужны.

Что спросить у класса

Как по клеткам понять, что угол 45°?
Почему не понадобился радиус?

6 из 10

Самостоятельная работа

1) площадь сектора: \(R=10\), \(36^\circ\)    2) четверть круга \(R=8\)
3) \(S=25\pi\), \(R=10\) — угол?    4) \(S=8\pi\), \(45^\circ\) — радиус?
5) дуга \(3\pi\), \(R=4\) — площадь сектора?    6) круг площадью 60, сектор \(72^\circ\) — площадь?

Задания по нарастающей: формула, доля, обратные задачи, через дугу, клетчатая.

Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.

Что спросить у класса

Какую долю круга составляет 72°?
Какой формулой решали пятое?

7 из 10

Частые ошибки

\(S=\dfrac{\pi R^2\alpha}{180^\circ}\) ✗ — нужно 360
путают площадь сектора и длину дуги ✗
сегмент \(=\) сектор ✗

Главная ошибка — перенести 180 из формулы длины дуги в формулу площади. Проверка: сектор \(360^\circ\) должен давать ровно площадь круга.

Ещё две: перепутать площадь сектора с длиной его дуги и забыть вычесть треугольник, когда спрашивают про сегмент.

Что спросить у класса

Как проверить формулу на целом круге?
Что вычитают из сектора, чтобы получить сегмент?

8 из 10

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Показать классу

9 из 10

Главное

\(S=\dfrac{lR}{2}\) и \(S=\dfrac{R^2\alpha}{2}\) (радианы).
Сегмент = сектор − треугольник.
Угол по площади находят через долю круга.

10 из 10

Обратные задачи и сегмент

Угол по площади сектора

Радиус по площади сектора

Площадь через длину дуги

Площадь в радианах

Площадь сегмента

Задача как в ОГЭ

Самостоятельная работа

Частые ошибки

Проверьте себя

Главное

Учитель? Выдайте эту тему классу домашним заданием