Отношение площади сектора к площади круга равно отношению угла к \(360^\circ\). Отсюда находим угол.
\(\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\), и \(\frac{5}{12}\cdot360^\circ=150^\circ\).
Если известны площадь и угол, находим площадь всего круга, а потом радиус.
Сектор \(60^\circ\) — шестая часть круга, значит весь круг \(36\pi\), \(R^2=36\), \(R=6\). Корень не забываем.
Если известна длина дуги, площадь сектора — половина произведения дуги на радиус. Это как площадь треугольника: «основание» — дуга, «высота» — радиус.
Проверка: дуга \(4\pi\) при \(R=6\) — это \(120^\circ\), и площадь такого сектора мы уже находили: \(12\pi\).
Подставим в \(S=\frac{lR}{2}\) длину дуги \(l=R\alpha\) — получится \(S=\frac{R^2\alpha}{2}\).
Проверка: \(\frac{\pi}{2}\) — это \(90^\circ\), четверть круга \(16\pi\) — те же \(4\pi\).
Сегмент — часть круга между хордой и дугой. Его площадь — площадь сектора минус площадь треугольника, образованного радиусами и хордой.
При \(90^\circ\) треугольник прямоугольный с катетами по \(R\): \(\frac{36}{2}=18\). Сегмент \(9\pi-18\approx10{,}26\).
В задании №18 на клетчатой бумаге изображён круг площадью 48 и заштрихован сектор. Угол сектора видно по клеткам: \(45^\circ\) — половина прямого угла.
\(45^\circ\) — восьмая часть от \(360^\circ\), площадь сектора \(48:8=6\). Радиус и \(\pi\) здесь вообще не нужны.
Задания по нарастающей: формула, доля, обратные задачи, через дугу, клетчатая.
Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.
Главная ошибка — перенести 180 из формулы длины дуги в формулу площади. Проверка: сектор \(360^\circ\) должен давать ровно площадь круга.
Ещё две: перепутать площадь сектора с длиной его дуги и забыть вычесть треугольник, когда спрашивают про сегмент.
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.