Все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности — описанной. А все стороны касаются другой, меньшей окружности — вписанной.
Центр у них общий, его называют центром многоугольника. Радиус описанной окружности обозначают \(R\), вписанной — \(r\).
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
Шестиугольник — особый случай. Центральный угол \(60^\circ\), обе стороны треугольника из центра равны \(R\), значит треугольник равносторонний и \(a=R\).
Весь шестиугольник складывается из шести таких треугольников: его площадь — шесть площадей равностороннего треугольника со стороной \(a\).
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
Вписанная окружность квадрата касается сторон, её диаметр равен стороне: \(r=\frac a2\). Описанная проходит через вершины, её диаметр — диагональ: \(R=\frac{a\sqrt2}{2}\).
При \(a=6\): \(r=3\), \(R=3\sqrt2\). И обратно: квадрат, вписанный в окружность радиуса \(5\sqrt2\), имеет диагональ \(10\sqrt2\) и сторону 10.
В задании №17 спрашивают угол правильного многоугольника или число его сторон. Самый короткий путь — через внешний угол.
При \(150^\circ\) внешний угол \(30^\circ\), сторон 12. Десятиугольник: внешний угол \(36^\circ\), внутренний \(180^\circ-36^\circ=144^\circ\).
Задания по нарастающей: сумма, угол, внешний угол, обратная задача, окружности.
Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.
Главная ошибка — забыть «минус два» в сумме углов. Проверка на треугольнике: \(3\cdot180^\circ=540^\circ\) — явно не то.
Ещё две: округлять дробное число сторон вместо ответа «такого многоугольника нет» и путать радиусы описанной и вписанной окружностей.
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.