около правильного многоугольника можно описать окружность в него можно вписать окружность центры совпадают
Все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности — описанной.
А все стороны касаются другой, меньшей окружности — вписанной.
Центр у них общий, его называют центром многоугольника. Радиус описанной
окружности обозначают \(R\), вписанной — \(r\).
Показать классу
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя
сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
Что спросить у класса
Какая окружность больше: описанная или вписанная?
Где находится центр правильного многоугольника?
1 из 8
Правильный шестиугольник
сторона \(a=R\) шесть равносторонних треугольников \(a=7\) → \(R=7\)
Шестиугольник — особый случай. Центральный угол \(60^\circ\), обе стороны
треугольника из центра равны \(R\), значит треугольник равносторонний и \(a=R\).
Весь шестиугольник складывается из шести таких треугольников: его площадь —
шесть площадей равностороннего треугольника со стороной \(a\).
Показать классу
Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя
сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).
Что спросить у класса
Почему треугольник из центра равносторонний?
Чему равен периметр шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 5?
2 из 8
Квадрат и его окружности
квадрат со стороной 6 \(r=\dfrac a2=3\) \(R=\dfrac{a\sqrt2}{2}=3\sqrt2\)
Вписанная окружность квадрата касается сторон, её диаметр равен стороне:
\(r=\frac a2\). Описанная проходит через вершины, её диаметр — диагональ:
\(R=\frac{a\sqrt2}{2}\).
При \(a=6\): \(r=3\), \(R=3\sqrt2\). И обратно: квадрат, вписанный
в окружность радиуса \(5\sqrt2\), имеет диагональ \(10\sqrt2\) и сторону 10.
Задания по нарастающей: сумма, угол, внешний угол, обратная задача, окружности.
Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.
Что спросить у класса
Через какой угол решали четвёртое?
Почему в пятом ответ совпал со стороной?
5 из 8
Частые ошибки
сумма углов \(=n\cdot180^\circ\) ✗ — нужно \(n-2\) угол \(100^\circ\) → \(n=4{,}5\) — «4 или 5» ✗ путают \(R\) и \(r\) ✗
Главная ошибка — забыть «минус два» в сумме углов. Проверка на треугольнике:
\(3\cdot180^\circ=540^\circ\) — явно не то.
Ещё две: округлять дробное число сторон вместо ответа «такого многоугольника нет»
и путать радиусы описанной и вписанной окружностей.
Что спросить у класса
Как проверить формулу суммы углов на треугольнике?
Каким должно быть число сторон?
6 из 8
Проверьте себя
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Показать классу
7 из 8
Главное
У правильного многоугольника есть вписанная и описанная окружности с общим центром.
У правильного шестиугольника сторона равна R.
У квадрата \(r=\dfrac a2\), \(R=\dfrac{a\sqrt2}{2}\).
8 из 8
После урока
Учитель? Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.