Углы правильного многоугольника

Разминка: суммы углов

сумма углов треугольника? четырёхугольника?
\(360^\circ:6=\,?\) \(180^\circ-120^\circ=\,?\)

Весь урок держится на двух суммах и простом делении. Устно за минуту.

Ответы: \(180^\circ\), \(360^\circ\), \(60^\circ\), \(60^\circ\). Спросите, почему сумма углов четырёхугольника вдвое больше, — ответ приведёт к формуле для любого многоугольника.

Что спросить у класса

На сколько треугольников диагональ делит четырёхугольник?
Сколько градусов в полном обороте?

1 из 8

Правильный многоугольник

все стороны равны и все углы равны
равносторонний треугольник, квадрат, шестиугольник

Многоугольник правильный, если у него равны все стороны и все углы. Одного условия мало: у ромба стороны равны, а углы нет; у прямоугольника углы равны, а стороны нет.

Правильный треугольник — равносторонний, правильный четырёхугольник — квадрат.

Показать классу

Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).

Что спросить у класса

Почему ромб не всегда правильный?
Какой прямоугольник правильный?

2 из 8

Сумма углов многоугольника

\(S=(n-2)\cdot180^\circ\)
пятиугольник: \(3\cdot180^\circ=540^\circ\)
шестиугольник: \(720^\circ\)

Из одной вершины \(n\)-угольника проведём все диагонали: получится \(n-2\) треугольника. Сумма углов многоугольника — сумма углов этих треугольников.

Пятиугольник делится на три треугольника — \(540^\circ\). Формула верна для любого выпуклого многоугольника, не только правильного.

Что спросить у класса

Почему треугольников n − 2, а не n?
Чему равна сумма углов десятиугольника?

3 из 8

Угол правильного многоугольника

\(\alpha=\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}\)
шестиугольник: \(\dfrac{720^\circ}{6}=120^\circ\)
восьмиугольник: \(135^\circ\)

У правильного многоугольника все углы равны, поэтому один угол — сумма, делённая на число углов.

Шестиугольник: \(120^\circ\), восьмиугольник: \(\frac{6\cdot180^\circ}{8}=135^\circ\). Чем больше сторон, тем ближе угол к \(180^\circ\) и многоугольник — к окружности.

Что спросить у класса

Чему равен угол правильного пятиугольника?
Может ли угол правильного многоугольника быть 180°?

4 из 8

Внешний и центральный угол

внешний \(=180^\circ-\alpha\)
сумма внешних \(=360^\circ\) → внешний \(=\dfrac{360^\circ}{n}\)
центральный тоже \(\dfrac{360^\circ}{n}\)

Внешний угол дополняет внутренний до \(180^\circ\). Если обойти многоугольник, поворачиваясь в каждой вершине на внешний угол, сделаем полный оборот — сумма внешних углов \(360^\circ\).

Поэтому у правильного \(n\)-угольника внешний угол \(\frac{360^\circ}{n}\). Столько же и центральный угол — на чертеже у шестиугольника это \(60^\circ\).

Показать классу

Центральный угол шестиугольника \(360^\circ:6=60^\circ\). Треугольник с двумя сторонами \(R\) и углом \(60^\circ\) между ними равносторонний, поэтому \(a=R\).

Что спросить у класса

Чему равен внешний угол правильного десятиугольника?
Почему сумма внешних углов 360°?

5 из 8

Сколько сторон по углу

угол \(140^\circ\)
внешний: \(180^\circ-140^\circ=40^\circ\)
\(n=360^\circ:40^\circ=9\)

По внутреннему углу число сторон быстрее всего найти через внешний угол.

\(180^\circ-140^\circ=40^\circ\), \(360:40=9\) — правильный девятиугольник. Если деление нацело не выходит, такого правильного многоугольника нет: угол \(100^\circ\) даёт \(360:80=4{,}5\).

Что спросить у класса

Сколько сторон у многоугольника с углом 150°?
Существует ли правильный многоугольник с углом 100°?

6 из 8

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Показать классу

7 из 8

Главное

Сумма углов: \((n-2)\cdot180^\circ\).
Внешний угол правильного n-угольника: \(\dfrac{360^\circ}{n}\).
Число сторон удобно искать через внешний угол.

8 из 8

Углы правильного многоугольника

Разминка: суммы углов

Правильный многоугольник

Сумма углов многоугольника

Угол правильного многоугольника

Внешний и центральный угол

Сколько сторон по углу

Проверьте себя

Главное

Учитель? Выдайте эту тему классу домашним заданием