Разбор задания №22 ОГЭ — построение графика функции
№22 — построить график функции и ответить на вопрос про прямую $y=m$: сколько у неё общих
точек с графиком. Самый частый «секрет» задания — выколотая точка, которая
появляется из-за сокращения дроби. За полное решение дают 2 балла.
Идея. Часто дробь сокращается и график превращается в
знакомую линию (прямую или параболу), но с «дыркой» в той точке, где знаменатель
обращался в ноль. Эта выколотая точка и решает вопрос про число общих точек с прямой.
Пример
График дробной функции с выколотой точкой
Постройте график функции $y=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ и определите, при каких значениях $m$
прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Область определения: знаменатель $x-3\ne 0$, значит $x\ne 3$.
Сокращаем дробь. Числитель $x^2-9=(x-3)(x+3)$, поэтому
$$y=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\quad (\text{при }x\ne 3).$$
Значит, график — прямая $y=x+3$, но точка с $x=3$ выколота. В ней было бы
$y=3+3=6$, поэтому из графика «выброшена» точка $(3;\,6)$.
Строим прямую $y=x+3$ и отмечаем выколотую точку $(3;6)$ светлым кружком:
Прямая $y=m$ — горизонтальная. С наклонной прямой $y=x+3$ она пересекается ровно
в одной точке при любом $m$.
Исключение — когда эта единственная точка совпадает с выколотой, то есть при $y=m=6$:
тогда общей точки нет, ведь $(3;6)$ из графика исключена.
Ответ: график не имеет общих точек с прямой $y=m$ при $m=6$.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Сокращают дробь и забывают про выколотую точку — а именно она и есть ответ задания.
Не указывают область определения ($x\ne 3$) — теряют обоснование.
Считают ординату выколотой точки по сокращённой формуле верно ($y=x+3$ при $x=3$ даёт $6$), но забывают отметить её на чертеже.
Чертёж рисуют «от руки» без подписей осей и единиц — эксперту трудно засчитать.