Задание 23 ОГЭ по математике — геометрия с разбором решения

Совет. Сделайте аккуратный чертёж и отметьте на нём всё, что дано. Часто задача решается одним «школьным» свойством — теоремой Пифагора, подобием или соотношениями в прямоугольном треугольнике.

В №23 расчётная задача бывает по трём типам фигур. Разберём по примеру на каждый: треугольник, четырёхугольник (трапеция) и окружность.

Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе

• Высота $CH$, проведённая из прямого угла к гипотенузе, делит её на отрезки $AH$ и $BH$.
• $CH=\sqrt{AH\cdot BH}$ — высота есть среднее геометрическое отрезков гипотенузы.
• $AC=\sqrt{AH\cdot AB}$, $BC=\sqrt{BH\cdot AB}$ — катет есть среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего отрезка.

4 шага для этого задания

1. Постройте чертёж по условию и подпишите на нём все данные.
2. Найдите знакомую конфигурацию: прямоугольный треугольник, подобие, вписанный угол, касательная, средняя линия.
3. Выпишите теорему, которая связывает известное с искомым.
4. Посчитайте, следя за привязкой: к какой стороне относится высота, к какому отрезку — проекция. Здесь теряется больше всего решений.

Прямоугольный треугольник: высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$. Известно, что $AH=9$ и $BH=16$. Найдите высоту $CH$ и катет $AC$.

1. Гипотенуза: $AB=AH+BH=9+16=25$.
2. Высота — среднее геометрическое отрезков гипотенузы: $CH=\sqrt{AH\cdot BH}=\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{144}=12$.
3. Катет $AC$ — среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего к нему отрезка $AH$: $AC=\sqrt{AH\cdot AB}=\sqrt{9\cdot 25}=\sqrt{225}=15$.
4. Проверка теоремой Пифагора: $BC=\sqrt{BH\cdot AB}=\sqrt{16\cdot 25}=20$, и $AC^2+BC^2=15^2+20^2=225+400=625=25^2=AB^2$ — верно.

Равнобедренная трапеция: высота и площадь

Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 20, а боковая сторона — 13. Найдите высоту трапеции и её площадь.

1. Опустим высоту $DH$ из вершины меньшего основания на большее. В равнобедренной трапеции высоты «отсекают» по краям равные отрезки.
2. Эти отрезки в сумме дают разность оснований: $\dfrac{20-10}{2}=5$ с каждой стороны.
3. В прямоугольном треугольнике $AHD$ гипотенуза — боковая сторона $13$, один катет $5$. По теореме Пифагора высота $$h=DH=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$
4. Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту: $$S=\dfrac{10+20}{2}\cdot 12=15\cdot 12=180.$$

Расстояние от центра до хорды

В окружности радиуса 10 проведена хорда длиной 12. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

1. Проведём из центра $O$ перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому $AM=\dfrac{12}{2}=6$.
2. $OA$ — радиус, $OA=10$. Треугольник $OMA$ прямоугольный (угол при $M$ прямой).
3. По теореме Пифагора расстояние от центра до хорды: $$d=OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

Что подставить

Теорема выбрана верно — а число всё равно не то. В №23 это случается чаще всего: не тот отрезок под корнем, вся разность оснований вместо половины, плюс вместо минуса.

Как убедиться, что ответ верный

1. Прикиньте по чертежу. Катет не длиннее гипотенузы, высота не больше стороны, часть не больше целого.
2. Проверьте порядок величины. Ответ, в десятки раз больший всех данных, почти всегда ошибка.
3. Подставьте найденное обратно в ту теорему, из которой вы его получили.
4. Сверьте единицы: площадь — в квадратных, длина — в линейных.

Поймай ошибку

Чужое решение, в нём сломан ровно один шаг. Все три ошибки стоят балла на экзамене, хотя теорема везде выбрана правильно.

Частые ошибки

Как записать решение №23

Это геометрия с вычислением: важен не только ответ, но и видимая опора на теоремы.

• Начните с чертежа: без него эксперт видит не решение, а угаданный ответ.
• Подпишите на чертеже известные длины, углы и равные отрезки — это уже часть обоснования.
• Не пишите формулу молча: скажите, почему теорема здесь применима.
• Ответ без хода решения — это 0 или 1 балл, даже если число верное.
• Доведите до числа и напишите «Ответ:» отдельной строкой.

Куда двигаться по геометрии и второй части

• Типичные ошибки в геометрии — что чаще всего подводит на чертеже.
• Ошибки во второй части и как оформлять решение на полный балл.
• Все темы ОГЭ — разбор и тренировка по темам.