Разбор задания №23 ОГЭ — расчётная задача по геометрии
№23 — геометрическая задача «на вычисление»: нужно найти длину, угол или площадь, опираясь
на свойства фигур. Решение оформляется с чертежом и пояснениями. За полное решение —
2 балла, и эти баллы засчитываются как «геометрические».
Совет. Сделайте аккуратный чертёж и отметьте на нём всё,
что дано. Часто задача решается одним «школьным» свойством — теоремой Пифагора, подобием
или соотношениями в прямоугольном треугольнике.
Памятка
Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе
Высота $CH$, проведённая из прямого угла к гипотенузе, делит её на отрезки $AH$ и $BH$.
$CH=\sqrt{AH\cdot BH}$ — высота есть среднее геометрическое отрезков гипотенузы.
$AC=\sqrt{AH\cdot AB}$, $BC=\sqrt{BH\cdot AB}$ — катет есть среднее геометрическое
гипотенузы и прилежащего отрезка.
Пример
Найти высоту и катеты
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) высота $CH$ опущена на
гипотенузу $AB$. Известно, что $AH=9$ и $BH=16$. Найдите высоту $CH$ и катет $AC$.
Гипотенуза: $AB=AH+BH=9+16=25$.
Высота — среднее геометрическое отрезков гипотенузы:
$CH=\sqrt{AH\cdot BH}=\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{144}=12$.
Катет $AC$ — среднее геометрическое гипотенузы и прилежащего к нему отрезка $AH$:
$AC=\sqrt{AH\cdot AB}=\sqrt{9\cdot 25}=\sqrt{225}=15$.
Проверка теоремой Пифагора: $BC=\sqrt{BH\cdot AB}=\sqrt{16\cdot 25}=20$, и
$AC^2+BC^2=15^2+20^2=225+400=625=25^2=AB^2$ — верно.
Ответ: $CH=12$, $AC=15$.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Путают, к какому отрезку «привязан» катет: $AC$ — со стороны $A$, значит берут $AH$, а не $BH$.
Складывают отрезки вместо умножения под корнем (среднее геометрическое — это $\sqrt{AH\cdot BH}$).
Не делают чертёж — и теряют наглядные соотношения между отрезками.
Забывают записать пояснения к каждому шагу — эксперт снижает балл за «голые» вычисления.