Рекуррентная формула задаёт первый член и правило перехода от члена к следующему. Чтобы найти десятый член, придётся пройти девять шагов.
\(a_{n+1}=a_n+3\) читается «следующий член равен предыдущему плюс три». Запись \(a_{n+1}\) — член с номером \(n+1\), а не \(a_n\) плюс единица.
Правило перехода может включать и умножение. Считаем по цепочке, каждый раз подставляя только что найденный член.
\(a_2=2\cdot1+1=3\), \(a_3=2\cdot3+1=7\), \(a_4=15\), \(a_5=31\). Внимательный ученик заметит: это числа на единицу меньше степеней двойки.
Чтобы проверить, есть ли число в последовательности, приравниваем формулу к этому числу и решаем уравнение относительно \(n\).
Если \(n\) получилось натуральным — число является членом, и \(n\) — его номер. Если дробным или отрицательным — не является: 100 — тридцать четвёртый член, а 101 в последовательности нет.
Вопрос «сколько членов больше нуля» сводится к неравенству относительно \(n\).
\(50-4n>0\) ⇔ \(n<12{,}5\). Натуральных \(n\) меньше 12,5 ровно двенадцать: от 1 до 12. Проверка: \(a_{12}=2>0\), а \(a_{13}=-2\).
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.
Задачи с проверкой ответа и разбором ошибок — закрепить урок самостоятельно.