Квадрат суммы равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго. В стандартной записи формулы получается три члена, между которыми стоят знаки «плюс». Формула работает и в обратную сторону: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Квадрат — это умножение выражения на само себя. Запишем скобку дважды и перемножим всё со всем:
Слагаемых получилось четыре, но два из них одинаковые: $ab$ и $ba$ — это одно и то же. Складываем их и получаем $2ab$:
Отсюда же понятно, почему $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$. Проверьте на числах: $(3+4)^2 = 49$, а $3^2 + 4^2 = 25$. Разница — как раз $2\cdot3\cdot4 = 24$.
Возьмём квадрат со стороной $a + b$ и разрежем каждую сторону на части $a$ и $b$. Квадрат распадётся на четыре куска: два квадрата и два одинаковых прямоугольника. Их площади и есть слагаемые формулы.
$(x + 3)^2$. Здесь $a = x$, $b = 3$: $x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
$(2x + 5)^2$. Теперь $a = 2x$: квадрат $(2x)^2 = 4x^2$, удвоенное произведение $2\cdot 2x\cdot 5 = 20x$, квадрат второго $25$. Ответ: $4x^2 + 20x + 25$.
$x^2 + 14x + 49$. Крайние члены — квадраты: $x^2$ и $7^2$. Проверяем средний: $2\cdot x\cdot 7 = 14x$ — совпало. Значит это $(x+7)^2$.
$51^2 = (50+1)^2 = 2500 + 2\cdot50\cdot1 + 1 = 2601$. Считать в столбик не нужно.
$(3a + 4b)^2 = (3a)^2 + 2\cdot 3a\cdot 4b + (4b)^2 = 9a^2 + 24ab + 16b^2$.
| Выражение | Подходит? | Почему |
|---|---|---|
| $(x+6)^2$ | да | квадрат скобки с плюсом внутри |
| $x^2 + 12x + 36$ | да | $2\cdot x\cdot 6 = 12x$ — сходится |
| $x^2 + 10x + 9$ | нет | средний член не равен $2\cdot x\cdot 3$ |
| $x^2 - 6x + 9$ | нет | минус в середине — это квадрат разности |
| $(x-2)(x+2)$ | нет | скобки разные — это разность квадратов |
Два режима: раскрыть квадрат суммы или, наоборот, узнать его в трёхчлене и свернуть обратно. Числа каждый раз новые.
Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.
← Вся тема: формулы сокращённого умножения