Алгебра · 7 класс · Формулы сокращённого умножения
Квадрат разности
Коротко
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Квадрат разности равен квадрату первого, минус удвоенное произведение первого
на второе, плюс квадрат второго. Минус только у среднего члена: последний
всегда с плюсом, ведь квадрат числа не бывает отрицательным.
Обратный ход: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Раскроем квадрат как обычное произведение двух одинаковых скобок:
$(a - b)^2 = (a-b)(a-b) = a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b\cdot b$
Смотрим на знаки. Два средних слагаемых — $-ab$ и $-ba$ — оба отрицательные,
вместе они дают $-2ab$. А последнее произведение — «минус на минус», то есть плюс:
$(-b)\cdot(-b) = +b^2$. Получаем:
$a^2 - 2ab + b^2$
Отличие от квадрата суммы ровно одно — знак в середине.
Первый и последний члены в обеих формулах одинаковые и всегда положительные.
Возьмём квадрат со стороной $a$. Разделим каждую его сторону на два
отрезка: $a-b$ и $b$. Квадрат распадётся на четыре части — синий квадрат со стороной
$a-b$, две жёлтые полосы шириной $b$ и красный угловой квадрат $b \times b$.
Синий квадрат — это как раз $(a-b)^2$. Он получается из всего квадрата $a^2$,
если убрать правую полосу $ab$ и нижнюю полосу $ab$. Но красный квадратик $b^2$
принадлежит обеим полосам сразу: вычитая их, мы убрали его дважды,
поэтому один раз его нужно вернуть:
$a^2 - ab - ab + b^2 = (a - b)^2$
Это и есть смысл формулы: два одинаковых прямоугольника $ab$
дают $-2ab$, а «лишний раз вычтенный» уголок возвращается как $+b^2$.
Рисунок работает, когда $a \ge b \ge 0$: иначе отрезка $a-b$
просто не существует на чертеже. Сама формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
верна при любых действительных $a$ и $b$ — в том числе отрицательных.
Раздел 3
Пять разобранных примеров
1. Самый простой случай
Раскрыть скобки
$(x - 4)^2 = x^2 - 2\cdot x\cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.
Последний член положительный.
$x^2 - 10x + 25$. Крайние члены — квадраты $x$ и $5$. Середина: $2\cdot x\cdot 5 = 10x$,
и перед ней минус. Значит это $(x-5)^2$.
4. Устный счёт
Посчитать в уме
$98^2 = (100-2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.
5. Когда минус стоит впереди
Внимание к порядку
$(3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$. Заметьте: $(3-x)^2 = (x-3)^2$ — результат одинаковый,
потому что противоположные числа при возведении в квадрат дают одно и то же.
Пример 5 часто пугает на контрольной. Если удобнее — поменяйте
местами: $(3-x)^2$ считайте как $(x-3)^2$. Это законно.
Раздел 4
Как узнать, что здесь нужна эта формула
Раскрываем скобки
Скобка в квадрате, внутри — разность: $(\,\square - \triangle\,)^2$.
Или две одинаковые скобки с минусом: $(x-6)(x-6)$.
Сворачиваем обратно
Три члена; крайние — точные квадраты и оба со знаком «плюс».
Средний член с минусом и равен удвоенному произведению корней крайних.
Выражение
Подходит?
Почему
$(x-7)^2$
да
квадрат скобки с минусом внутри
$x^2 - 14x + 49$
да
$2\cdot x\cdot 7 = 14x$, знак минус
$x^2 + 14x + 49$
нет
плюс в середине — это квадрат суммы
$x^2 - 14x - 49$
нет
последний член не может быть отрицательным
$x^2 - 49$
нет
двучлен без середины — разность квадратов
$x^2 - 9x + 20$
нет
$2\cdot x\cdot \sqrt{20}$ не даёт $9x$
Три формулы различаются по одному признаку: середина с плюсом —
квадрат суммы,
середина с минусом — квадрат разности, середины нет —
разность квадратов.
Раздел 5
Тренажёр
Два режима: раскрыть квадрат разности или узнать его в трёхчлене
и свернуть обратно. Обратите внимание на знаки в строке ответа — минус там уже напечатан.
…
= x² − x +
= ( x − )²
Раздел 6
Типичные ошибки
Ставят минус перед последним членом. $(x-6)^2 = x^2 - 12x - 36$ — неверно.
Верно $+36$: «минус на минус» даёт плюс.
Теряют середину. $(x-5)^2 = x^2 - 25$ — это вообще другая формула
(и другой ответ). Верно $x^2 - 10x + 25$.
Не возводят коэффициент в квадрат. $(4x-1)^2 = 4x^2 - 8x + 1$ — неверно,
нужно $16x^2 - 8x + 1$.
Путают с квадратом суммы. Знак середины — единственное отличие,
и именно его чаще всего теряют при переписывании.
Считают, что $(3-x)^2$ и $(x-3)^2$ разные. Они равны: квадрат
убирает знак.
Раздел 7
Задачи для самостоятельного решения
Раскройте скобки: $(x - 7)^2$.
Раскройте скобки: $(2x - 9)^2$.
Раскройте скобки: $(5 - 3y)^2$.
Сверните в квадрат: $x^2 - 16x + 64$.
Сверните в квадрат: $9x^2 - 30x + 25$.
Посчитайте устно: $99^2$.
Упростите: $(x-6)^2 - (x^2 + 36)$.
Является ли $x^2 - 5x + 4$ квадратом разности? Ответ обоснуйте.
Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.