Алгебра · 7 класс · Формулы сокращённого умножения
Разность квадратов
Коротко
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.
Среднего члена нет: он сокращается. Формула читается в обе стороны — слева направо
раскрывают скобки, справа налево раскладывают на множители:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Формулу не нужно принимать на веру — она получается обычным раскрытием скобок.
Умножим каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй:
$(a - b)(a + b) = a\cdot a + a\cdot b - b\cdot a - b\cdot b = a^2 + ab - ab - b^2$
Посередине стоят $+ab$ и $-ab$ — одинаковые по модулю и разные по знаку.
Они взаимно уничтожаются, и остаётся:
$a^2 - b^2$
Именно поэтому в ответе только два члена. Если у вас получилось
три — где-то потерян знак: проверьте, что во второй скобке стоит «плюс», а в первой «минус».
Порядок скобок не важен: $(a + b)(a - b)$ — та же формула, ответ тот же $a^2 - b^2$.
А вот порядок в ответе важен: вычитается квадрат того, что стояло со знаком минус.
Раздел 2
Формула на картинке
Из квадрата со стороной $a$ вырезали квадрат со стороной $b$ —
осталась «уголковая» фигура площадью $a^2 - b^2$. Разрежем её на две части
и сложим из них прямоугольник. Площадь при этом не меняется, а стороны
получаются $a-b$ и $a+b$.
Зелёная часть осталась на месте, фиолетовую повернули и приставили сбоку.
Обе части те же самые — значит и площадь та же. У получившегося прямоугольника
высота $a-b$, а ширина $a + b$: к длине $a$ добавился кусочек $b$ от повёрнутой части.
Площадь при перекладывании не меняется — значит,
$a^2 - b^2$ и $(a-b)(a+b)$ это одно и то же число.
На рисунке предполагается, что $a \ge b > 0$: иначе «вырезать»
квадрат $b^2$ было бы не из чего. Алгебраически формула
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ верна при любых действительных $a$ и $b$.
$49 \cdot 51$. Числа стоят по разные стороны от «круглого» $50$:
$49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$.
5. Две буквы и четвёртая степень
Разложить
$9a^4 - 16b^2$. Здесь $9a^4 = (3a^2)^2$, а $16b^2 = (4b)^2$. Тогда
$9a^4 - 16b^2 = (3a^2 - 4b)(3a^2 + 4b)$.
В примере 5 сначала полезно спросить себя: «а квадрат ли это?»
Степень должна быть чётной, а числовой коэффициент — точным квадратом
($4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$).
Раздел 4
Как узнать, что здесь нужна эта формула
Два признака — по одному на каждое направление формулы.
Раскрываем скобки
Скобок ровно две, и они одинаковые, кроме знака: $(\,\square - \triangle\,)(\,\square + \triangle\,)$.
Между скобками стоит умножение, а не плюс и не минус.
Раскладываем на множители
Ровно два члена, между ними минус.
Оба члена — точные квадраты: число извлекается нацело, степень буквы чётная.
Выражение
Подходит?
Почему
$(x-8)(x+8)$
да
скобки различаются только знаком
$x^2 - 36$
да
два квадрата и минус между ними
$x^2 + 36$
нет
сумма квадратов на множители не раскладывается
$x^2 - 30$
нет
$30$ не является точным квадратом
$x^3 - 8$
нет
это разность кубов, другая формула
$(x-4)(x-4)$
нет
скобки одинаковые — это квадрат разности
Быстрая проверка: если в ответе после раскрытия остался член с $x$
в первой степени — формула была выбрана неверно, там нужен
квадрат суммы
или квадрат разности.
Раздел 5
Тренажёр
Два режима: раскрыть скобки или, наоборот, разложить двучлен на множители.
Числа каждый раз новые.
…
= x² −
= ()()
Раздел 6
Типичные ошибки
Дописывают средний член. $(x-6)(x+6) = x^2 - 12x - 36$ — неверно.
Слагаемые $+6x$ и $-6x$ сокращаются, ответ $x^2 - 36$.
Не возводят коэффициент в квадрат. $(5x-2)(5x+2) = 5x^2 - 4$ — неверно.
Верно $25x^2 - 4$: в квадрат идёт весь $5x$.
Раскладывают сумму квадратов. $x^2 + 9 \ne (x+3)(x-3)$.
Сумма квадратов по формуле разности квадратов не раскладывается.
В школьном курсе выражение вида $a^2 + b^2$ не раскладывают на линейные
множители над действительными числами.
Путают со степенью тройки. $x^3 - 8$ — это разность кубов,
здесь формула разности квадратов не работает.
Теряют знак при обратном ходе. $25 - x^2 = (5-x)(5+x)$,
а не $(x-5)(x+5)$: вычитается то, что стоит вторым.
Раздел 7
Задачи для самостоятельного решения
Раскройте скобки: $(x - 9)(x + 9)$.
Раскройте скобки: $(4x + 7)(4x - 7)$.
Разложите на множители: $x^2 - 81$.
Разложите на множители: $36 - y^2$.
Разложите на множители: $49a^2 - 25b^2$.
Посчитайте устно: $98 \cdot 102$.
Упростите: $(x-3)(x+3) - x^2$.
Разложите на множители: $x^4 - 16$.
Показать ответы и разбор
1. $x^2 - 81$. Квадрат первого минус квадрат второго.
2. $16x^2 - 49$. В квадрат идёт весь $4x$: $(4x)^2 = 16x^2$.
3. $(x-9)(x+9)$. Оба члена — квадраты, между ними минус.
4. $(6-y)(6+y)$. Вычитается $y^2$, значит $y$ стоит вторым.
5. $(7a-5b)(7a+5b)$. Здесь $49a^2 = (7a)^2$, $25b^2 = (5b)^2$.
6. $9996$. Это $(100-2)(100+2) = 10000 - 4$.
7. $-9$. Сначала $(x-3)(x+3) = x^2 - 9$, затем $x^2 - 9 - x^2 = -9$.
8. $(x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)$. Формулу применяют дважды:
$x^4 = (x^2)^2$, а потом раскладывается и $x^2 - 4$. Множитель $x^2+4$ —
сумма квадратов, дальше не раскладывается.
Раздел 8
Шпаргалка
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ — и в обратную сторону тоже.
Среднего члена нет: $+ab$ и $-ab$ сокращаются.
Коэффициент возводится в квадрат вместе с буквой: $(3x)^2 = 9x^2$.
Сумма квадратов $a^2 + b^2$ по этой формуле не раскладывается: в школьном курсе
её вообще не раскладывают на линейные множители.
Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.