Сколько корней

Сколько корней

Число корней биквадратного уравнения складывается из вкладов каждого \(t\): положительное даёт два, нулевое — один, отрицательное — ни одного.

\(x^4-4x^2+4=0\) — это \((t-2)^2=0\), единственное \(t=2\) и два корня \(\pm\sqrt2\). Корни не обязаны быть целыми.

Когда нужен дискриминант

Если коэффициент при \(t^2\) не единица, подбор неудобен — считаем дискриминант.

\(D=25-16=9\), \(t=\frac{5\pm3}{8}\): \(t=1\) и \(t=\frac14\). Оба положительны: \(x=\pm1\) и \(x=\pm\frac12\). Четыре корня.

Замена целой скобки

Тот же приём работает, когда повторяется целая скобка. Здесь \(t\) может быть и отрицательным: \(t=x^2+2x\) — не квадрат, ограничения \(t\ge0\) нет.

\(x^2+2x-3=0\) даёт \(1\) и \(-3\); \(x^2+2x+1=0\), то есть \((x+1)^2=0\), даёт \(-1\). Ответ: \(-3;\ -1;\ 1\).

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Главное

• Каждое положительное t даёт два корня, t = 0 — один.
• Дискриминант нужен, когда t не подбираются по Виету.
• Заменять можно и целую скобку.