Замена переменной

Разминка: два шага назад

Биквадратное уравнение решается двумя известными шагами: квадратное уравнение и уравнение вида \(x^2=a\). Проверяем оба устно.

Ответы: \(t^2-5t+4=0\) — корни 1 и 4 (сумма 5, произведение 4). \(x^2=4\) — два корня \(\pm2\); \(x^2=0\) — один корень 0; \(x^2=-9\) — корней нет. Эти три случая — вся логика урока.

Что такое биквадратное

Биквадратным называют уравнение \(ax^4+bx^2+c=0\): в нём есть только четвёртая степень, квадрат и число. Нечётных степеней — \(x^3\) и \(x\) — нет.

Именно поэтому работает замена: \(x^4=(x^2)^2\), и уравнение становится квадратным относительно \(x^2\).

Замена переменной

Обозначаем \(x^2=t\). Сразу записываем ограничение \(t\ge0\): квадрат числа не бывает отрицательным. Оно понадобится при отборе.

Уравнение \(x^4-5x^2+4=0\) превращается в \(t^2-5t+4=0\), корни \(t=1\) и \(t=4\). Оба неотрицательны — оба подходят. Но это ещё не ответ.

Возвращаемся к x

Каждый найденный \(t\) превращаем обратно в уравнение \(x^2=t\). Положительное \(t\) даёт два противоположных корня.

\(x^2=1\) — это \(\pm1\), \(x^2=4\) — это \(\pm2\). Четыре корня — максимум для уравнения четвёртой степени. Ответ пишут в порядке возрастания.

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Главное

• Биквадратное: \(ax^4+bx^2+c=0\).
• Замена \(t=x^2\) даёт квадратное уравнение.
• Каждое \(t\) возвращают обратно: \(x^2=t\).