Как решать задачи на смеси и сплавы в ОГЭ?

Считать массу чистого вещества: масса смеси умножается на концентрацию и делится на 100. При смешивании складываются и массы смесей, и массы чистого вещества.

Какое уравнение составить в задаче на смеси?

Баланс чистого вещества: m1·c1/100 + m2·c2/100 = (m1+m2)·c/100. Слева — чистое вещество в двух растворах, справа — в их смеси.

Главная ошибка в задачах на смеси?

Складывать проценты (концентрации). Концентрации не складываются — складываются массы чистого вещества. Вода считается раствором с концентрацией 0%.

Темы ОГЭ · текстовые задачи

Задачи на смеси и сплавы в ОГЭ по математике

Смеси, сплавы и растворы — задачи на концентрацию. Они кажутся сложными, но решаются одним приёмом: следить за массой чистого вещества, а не за процентами.

Главная идея

Считаем чистое вещество

\( \text{масса чистого вещества} = \text{масса смеси} \times \dfrac{\text{концентрация \%}}{100} \)

Концентрация (процент) — это доля чистого вещества (соли, кислоты, металла) в смеси. Главное правило: при смешивании складываются и массы смесей, и массы чистого вещества.

Заведите таблицу: строки — растворы (1-й, 2-й, итог), столбцы — масса смеси, концентрация, масса чистого вещества. Последний столбец = первый × второй / 100.

Как составить уравнение

Баланс чистого вещества

Уравнение строится на том, что чистое вещество не исчезает:

\( m_1\cdot\dfrac{c_1}{100} + m_2\cdot\dfrac{c_2}{100} = (m_1+m_2)\cdot\dfrac{c}{100} \)

Слева — чистое вещество в двух растворах, справа — в их смеси. Отсюда находят неизвестную массу или концентрацию.

Если добавляют воду — это «раствор» с концентрацией 0%. Если добавляют чистое вещество — концентрация 100%.

Где ошибаются

Типичные ошибки

Складывают проценты. Концентрации не складываются — складываются массы чистого вещества.
Берут процент от объёма вместо массы.
Забывают, что при добавлении воды масса смеси растёт, а масса чистого вещества — нет.

Подробнее про ловушки — типичные ошибки в текстовых задачах.

Пример

Разбор задачи

Условие. Смешали 200 г раствора с концентрацией 10% и 300 г раствора с концентрацией 20%. Найдите концентрацию полученной смеси.

Таблица.

	Масса смеси	Концентрация	Чистое вещество
1-й раствор	200 г	10%	\(200 \cdot 0{,}1 = 20\) г
2-й раствор	300 г	20%	\(300 \cdot 0{,}2 = 60\) г
Смесь	500 г	?	80 г

\( c = \frac{80}{500} \cdot 100\% = 16\% \)

Концентрации не складываются — складывается масса чистого вещества: \(20 + 60 = 80\) г.

Задачи на смеси и сплавы в ОГЭ по математике

Считаем чистое вещество

Баланс чистого вещества

Типичные ошибки

Разбор задачи

Потренируйте смеси и сплавы