Алгебраическая дробь и её область определения

Разминка: вспоминаем 7 класс

Весь урок держится на разложении на множители: без него сокращать нечего. Пять минут устно — и тема пойдёт.

Ответы: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\); \(a^2+6a+9=(a+3)^2\); \(3m-12=3(m-4)\); \(xy-2y=y(x-2)\). Если класс спотыкается на втором — повторите формулу квадрата суммы, дальше она понадобится.

Что такое алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены: \(\frac{a+3}{a-2}\), \(\frac{5x}{x^2-1}\), \(\frac{2}{b}\).

С обычными дробями она ведёт себя одинаково: те же правила сокращения, сложения, умножения. Разница одна — вместо чисел буквы, и за буквами надо следить.

Где дробь не существует

Делить на ноль нельзя, поэтому у дроби есть запрещённые значения переменной — те, при которых знаменатель обращается в ноль.

Для \(\frac{x+1}{x^2-9}\) решаем \(x^2-9=0\): получаем \(x=3\) и \(x=-3\). При остальных \(x\) дробь имеет смысл. Числитель на это не влияет: ноль в числителе — нормальный ноль, а не запрет.

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Главное

• Алгебраическая дробь — дробь с многочленами сверху и снизу.
• Знаменатель не может быть нулём.
• Запрещённые значения ищут, приравняв знаменатель к нулю.