Описанный четырёхугольник, работа и ошибки

Описанный четырёхугольник

окружность касается всех сторон
\(AB+CD=BC+AD\)
\(5+9=6+x\ \Rightarrow\ x=8\)

Не путать: описанный четырёхугольник — тот, в который вписана окружность. У него равны суммы противоположных сторон.

Причина — равные отрезки касательных из каждой вершины. Стороны 5, 6, 9 по порядку дают четвёртую: \(5+9=6+x\), \(x=8\).

Что спросить у класса

Что равно у описанного четырёхугольника — углы или стороны?
Откуда берётся это свойство?

1 из 6

Задача как в ОГЭ

\(ABCD\) вписан, \(\angle ABD=40^\circ,\ \angle CAD=35^\circ\)
\(\angle DBC=\angle DAC=35^\circ\) — опираются на дугу \(DC\)
\(\angle ABC=40^\circ+35^\circ=75^\circ\)

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, \(\angle ABD=40^\circ\), \(\angle CAD=35^\circ\). Найдите \(\angle ABC\).

Угол \(ABC\) состоит из \(\angle ABD\) и \(\angle DBC\). Угол \(DBC\) опирается на ту же дугу \(DC\), что и \(\angle DAC\), — значит, он тоже \(35^\circ\). Ответ: \(75^\circ\).

Что спросить у класса

На какую дугу опираются углы DBC и DAC?
Из каких двух углов складывается \(\angle ABC\)?

2 из 6

Самостоятельная работа

1) \(\angle B=112^\circ\) — найдите \(\angle D\)
2) \(\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4\) — все углы
3) можно ли вписать параллелограмм с углом \(70^\circ\)?
4) вписанная трапеция, угол \(65^\circ\) — остальные
5) описанный: стороны 7, 10, 12 по порядку — четвёртая
6) вписанный, \(\angle ABD=50^\circ,\ \angle DBC=30^\circ\) — найдите \(\angle ADC\)

Свойство, отношение углов, признак, трапеция, описанный четырёхугольник и перенос угла по окружности.

Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.

Что спросить у класса

Какие углы складывали во втором?
Как в шестом пригодилось свойство суммы?

3 из 6

Частые ошибки

сложили соседние углы ✗
вписанный перепутали с описанным ✗
«любую трапецию можно вписать» ✗

Первая ошибка — брать не те углы: противоположные лежат через вершину, а не рядом. Вторая — путать свойства: у вписанного суммы углов, у описанного — суммы сторон.

Третья — забыть, что вписать можно только равнобедренную трапецию.

Что спросить у класса

Какой угол противоположен углу B?
Где суммы сторон, а где суммы углов?

4 из 6

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Показать классу

5 из 6

Главное

У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны.
У вписанного — суммы противоположных углов равны 180°.
Эти два свойства часто путают.

6 из 6

Описанный четырёхугольник, работа и ошибки