\(\triangle APC\sim\triangle DPB\) \(\angle CAB=\angle CDB\) — вписанные на одну дугу \(\dfrac{AP}{DP}=\dfrac{CP}{BP}\) → \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\)
Треугольники \(APC\) и \(DPB\) подобны по двум углам: углы при \(P\)
вертикальные, а \(\angle CAB\) и \(\angle CDB\) вписанные и опираются на одну дугу \(CB\).
Из подобия \(\frac{AP}{DP}=\frac{CP}{BP}\), а перекрёстное умножение даёт теорему.
Вся тема — это подобие треугольников и свойство вписанных углов.
Показать классу
Хорды \(AB\) и \(CD\) делятся точкой \(P\) так, что
\(AP\cdot PB=CP\cdot PD\): произведения отрезков каждой хорды одинаковы.
Что спросить у класса
Какие углы при P равны и почему?
На какую дугу опираются углы CAB и CDB?
1 из 4
Хорда и диаметр
\(R=10\), хорда 16, диаметр \(\perp\) хорде \(8\cdot8=x(20-x)\) → \(x=4\) от центра до хорды: \(10-4=6\)
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам — получаются две пересекающиеся
хорды, и теорема работает.
Хорда 16 делится на \(8\) и \(8\), диаметр 20 — на \(x\) и \(20-x\).
\(x^2-20x+64=0\), корни 4 и 16. Расстояние от центра \(10-4=6\) — тот же ответ,
что дала бы теорема Пифагора.
Что спросить у класса
Почему диаметр делит хорду пополам?
Как проверить ответ теоремой Пифагора?
2 из 4
Проверьте себя
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Показать классу
3 из 4
Главное
Треугольники APC и DPB подобны по двум углам.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Расстояние от центра до хорды — через теорему.
4 из 4
После урока
Учитель? Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.