Разложение на множители

Квадратный трёхчлен в скобке

\(x^3-5x^2+6x=0\)
\(x(x^2-5x+6)=0\)
\(x=0\) или \(x^2-5x+6=0\) → \(2;\ 3\)

После вынесения \(x\) в скобке часто остаётся квадратный трёхчлен. Решаем его как обычно — по теореме Виета или через дискриминант.

\(x^2-5x+6=0\): сумма корней 5, произведение 6 — это 2 и 3. Вместе с нулём получаем три корня: \(0;\ 2;\ 3\).

Что спросить у класса

Какие два числа дают сумму 5 и произведение 6?
Сколько всего корней у уравнения?

1 из 5

Разложение группировкой

\(x^3-2x^2-9x+18=0\)
\(x^2(x-2)-9(x-2)=0\)
\((x-2)(x^2-9)=0\) → \(2;\ 3;\ -3\)

Если общего множителя у всех слагаемых нет, группируем по два: первое со вторым, третье с четвёртым — и ищем одинаковую скобку.

\(x^3-2x^2=x^2(x-2)\), \(-9x+18=-9(x-2)\). Скобка \((x-2)\) общая: \((x-2)(x^2-9)=0\). Корни \(2\), \(3\), \(-3\). Проверка для \(x=2\): \(8-8-18+18=0\).

Что спросить у класса

Какой знак у числа, которое вынесли из второй пары?
Как проверить корень подстановкой?

2 из 5

Группировка: ещё пример

\(x^3+3x^2-4x-12=0\)
\(x^2(x+3)-4(x+3)=0\)
\((x+3)(x^2-4)=0\) → \(-3;\ 2;\ -2\)

Секрет удачной группировки — после вынесения множителя из второй пары скобка должна получиться точно такой же, как в первой. Если не совпала, проверьте знак вынесенного числа.

\(-4x-12=-4(x+3)\) — со знаком минус скобка совпала. Итог: \((x+3)(x-2)(x+2)=0\), корни \(-3;\ 2;\ -2\).

Что спросить у класса

Что будет, если вынести +4, а не −4?
Можно ли было сгруппировать слагаемые по-другому?

3 из 5

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Показать классу

4 из 5

Главное

После вынесения множителя в скобке часто остаётся квадратный трёхчлен.
Группировка: разбить на пары и вынести общий множитель из каждой.
Одинаковая скобка выносится ещё раз.

5 из 5

Разложение на множители

Квадратный трёхчлен в скобке

Разложение группировкой

Группировка: ещё пример

Проверьте себя

Главное

Учитель? Выдайте эту тему классу домашним заданием