$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\quad (a \ge 0,\ b \ge 0)$
Множитель заходит под корень в квадрате: $3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$.
Если множитель отрицательный, под корень уходит только его модуль,
а минус остаётся снаружи: $-3\sqrt{5}=-\sqrt{45}$.
Это то же самое свойство корня из произведения, прочитанное в обратную
сторону. Запись $3\sqrt{5}$ означает $3\cdot\sqrt{5}$. Тройку можно записать как корень
из девяти — и тогда под корнем окажется всё:
Ключевая деталь: наружу множитель выходил с извлечением корня, значит
внутрь он заходит с возведением в квадрат. Действия обратные — иначе число
изменилось бы.
Проверка на глаз: $3\sqrt{5}\approx 3\cdot 2{,}24=6{,}7$
и $\sqrt{45}\approx 6{,}7$. Сошлось.
Частая ошибка — внести множитель как есть: $3\sqrt{5}=\sqrt{15}$.
Это другое число: $\sqrt{15}\approx 3{,}9$, а не $6{,}7$.
Раздел 2
Что делать, если множитель отрицательный
Под корень нельзя занести минус: корень всегда неотрицателен, а число
$-3\sqrt{5}$ отрицательно. Значит, под корень уходит только модуль, минус остаётся
снаружи:
$a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2 b}\quad (a < 0)$
Пример
$-3\sqrt{5}=-\sqrt{9\cdot 5}=-\sqrt{45}$. А запись $\sqrt{45}$ без минуса —
это уже другое, положительное число.
Пример
$-2\sqrt{7}=-\sqrt{28}$. Проверка: $-2\cdot 2{,}65=-5{,}3$ и $-\sqrt{28}\approx-5{,}3$.
Формулу $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ пишут с условием $a\ge 0$ именно
поэтому. При $a<0$ верно $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}$.
Если множитель — буква
С буквой то же самое, только знак заранее неизвестен, поэтому его
приходится оговаривать:
Пример
$x\sqrt{3}=\sqrt{3x^2}$ — верно при $x\ge 0$. При $x<0$ получится
$x\sqrt{3}=-\sqrt{3x^2}$.
Раздел 3
Разобранные примеры
Выражение
Возводим множитель в квадрат
Ответ
$2\sqrt{3}$
$\sqrt{4\cdot 3}$
$\sqrt{12}$
$3\sqrt{2}$
$\sqrt{9\cdot 2}$
$\sqrt{18}$
$4\sqrt{5}$
$\sqrt{16\cdot 5}$
$\sqrt{80}$
$5\sqrt{3}$
$\sqrt{25\cdot 3}$
$\sqrt{75}$
$6\sqrt{2}$
$\sqrt{36\cdot 2}$
$\sqrt{72}$
$10\sqrt{3}$
$\sqrt{100\cdot 3}$
$\sqrt{300}$
$-2\sqrt{6}$
$-\sqrt{4\cdot 6}$
$-\sqrt{24}$
С дробью
$\dfrac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot 8}=\sqrt{2}$. Дробь тоже возводится
в квадрат — и корень при этом упростился.
Множитель уже под корнем
$2\sqrt{2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}$. Обратно: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$.
Одно и то же число в двух записях.
Раздел 4
Зачем это нужно: сравнение корней
Главное применение внесения — сравнить два числа с корнями. Пока корни
разные, сравнивать нечего. Но если внести множители, под корнями окажутся обычные
числа, а из двух корней больше тот, под которым больше число.
$\sqrt{m} > \sqrt{n} \;\Leftrightarrow\; m > n \quad (m, n \ge 0)$
Что больше: $3\sqrt{5}$ или $5\sqrt{2}$?
Вносим оба: $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$, $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$. Так как $45<50$,
то $3\sqrt{5}<5\sqrt{2}$.
Что больше: $2\sqrt{7}$ или $3\sqrt{3}$?
$2\sqrt{7}=\sqrt{28}$, $3\sqrt{3}=\sqrt{27}$. Значит $2\sqrt{7}>3\sqrt{3}$ —
хотя «на глаз» тройка перед корнем выглядела внушительнее.
Сравнить с целым числом
Что больше, $\sqrt{30}$ или $5$? Вносим пятёрку под корень: $5=\sqrt{25}$.
$30>25$, значит $\sqrt{30}>5$.
С отрицательными числами порядок переворачивается:
$-\sqrt{45}$ и $-\sqrt{50}$ — больше то, у которого меньше под корнем,
то есть $-\sqrt{45}>-\sqrt{50}$.
Раздел 5
Тренажёр
Два режима: внести множитель под корень и сравнить два числа с корнями.
Числа каждый раз новые.
…
= √
Раздел 6
Частые ошибки
Вносят множитель без квадрата. $3\sqrt{5}=\sqrt{15}$ — неверно.
Под корень заходит $3^2=9$: $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$.
Заносят минус под корень. $-2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ — неверно:
слева число отрицательное, справа положительное. Верно $-2\sqrt{3}=-\sqrt{12}$.
Возводят в квадрат и то, что уже под корнем.
$2\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot 9}=6$ — неверно. В квадрат идёт только внешний множитель:
$\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}$.
Сравнивают по множителю перед корнем. «У $3\sqrt{3}$ тройка,
а у $2\sqrt{7}$ двойка, значит первое больше» — неверно. $\sqrt{27}<\sqrt{28}$.
Забывают про условие для буквы. $x\sqrt{2}=\sqrt{2x^2}$
верно только при $x\ge 0$.
Раздел 7
Задачи для самостоятельного решения
Внесите множитель под знак корня: $4\sqrt{3}$.
Внесите множитель под знак корня: $7\sqrt{2}$.
Внесите множитель под знак корня: $-5\sqrt{2}$.
Внесите множитель под знак корня: $\dfrac{1}{3}\sqrt{18}$.
Что больше: $4\sqrt{3}$ или $3\sqrt{5}$?
Что больше: $\sqrt{50}$ или $7$?
Расположите в порядке возрастания: $2\sqrt{6}$, $5$, $3\sqrt{2}$.
Внесите множитель под знак корня: $a\sqrt{5}$ при $a<0$.
Показать ответы и разбор
1. $\sqrt{48}$. Под корень заходит $4^2=16$: $\sqrt{16\cdot 3}$.
2. $\sqrt{98}$, потому что $7^2\cdot 2=49\cdot 2$.
3. $-\sqrt{50}$. Минус остаётся снаружи, под корень уходит только $5$.
Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.