Складываются только подобные корни — те, у которых под корнем стоит одно
и то же число. Коэффициенты складываются, корень остаётся прежним.
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ упростить нельзя: корни разные.
Здесь не нужно ничего запоминать заново — работает правило приведения
подобных слагаемых, знакомое с седьмого класса. Сравните две строчки:
$3x+5x=8x \qquad 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
Разницы нет: вместо буквы $x$ стоит $\sqrt{2}$. Это одно и то же число
в обоих слагаемых, поэтому его выносят за скобку:
$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3+5)\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
И вычитание такое же: $7\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}$, как $7y-2y=5y$.
Если корень стоит без числа, коэффициент равен единице:
$\sqrt{3}+\sqrt{3}=1\sqrt{3}+1\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ — ровно как $x+x=2x$.
Определение
Подобные корни — корни с одинаковым подкоренным выражением.
$2\sqrt{7}$ и $-5\sqrt{7}$ подобны, а $2\sqrt{7}$ и $2\sqrt{5}$ — нет.
Раздел 2
Почему $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ не складывается
Продолжим аналогию с буквами. Выражение $3x+5y$ не упрощается: $x$ и $y$ —
разные величины. Точно так же $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ — разные числа, и складывать
их коэффициенты не с чем.
$\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne\sqrt{5}$. Проверим на калькуляторе:
$1{,}41+1{,}73=3{,}14$, а $\sqrt{5}\approx 2{,}24$. Разные числа.
Общая причина: свойство «корень из произведения» существует, а свойства
«корень из суммы» нет.
$\sqrt{50}+\sqrt{27}=5\sqrt{2}+3\sqrt{3}$. Дальше упрощать нечего: корни разные.
Так и оставляем — это готовый ответ.
Раздел 4
Разобранные примеры
Выражение
После вынесения
Ответ
$\sqrt{8}+\sqrt{2}$
$2\sqrt{2}+\sqrt{2}$
$3\sqrt{2}$
$\sqrt{18}+\sqrt{8}$
$3\sqrt{2}+2\sqrt{2}$
$5\sqrt{2}$
$\sqrt{75}-\sqrt{12}$
$5\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
$3\sqrt{3}$
$\sqrt{45}+\sqrt{20}$
$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}$
$5\sqrt{5}$
$\sqrt{98}-\sqrt{32}$
$7\sqrt{2}-4\sqrt{2}$
$3\sqrt{2}$
$2\sqrt{27}-\sqrt{48}$
$6\sqrt{3}-4\sqrt{3}$
$2\sqrt{3}$
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$
—
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$
Разбор: $2\sqrt{27}-\sqrt{48}$
Выносим: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$, значит $2\sqrt{27}=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.
Дальше $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$. Корни стали подобными:
$6\sqrt{3}-4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
Ответ получился целым
$\sqrt{50}-\sqrt{8}-\sqrt{18}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=0$.
Коэффициенты сложились в ноль — значит и всё выражение равно нулю.
Раздел 5
Тренажёр
Сложите или вычтите корни. Ответ записывается как $k\sqrt{m}$:
слева коэффициент, справа то, что под корнем. Если корни не подобны,
нажмите «не складывается».
…
√
Раздел 6
Частые ошибки
Складывают подкоренные числа. $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ —
грубая ошибка. Проверьте на $\sqrt{9}+\sqrt{16}$: получится $7$, а не $5$.
Складывают неподобные корни. $3\sqrt{2}+4\sqrt{3}=7\sqrt{5}$ —
неверно дважды: и корни разные, и подкоренные складывать нельзя.
Не выносят множитель и объявляют «не складывается».
$\sqrt{18}+\sqrt{8}$ выглядит неподобным, но после выноса это $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
Складывают и коэффициенты, и корни.
$2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{10}$ — неверно. Корень остаётся прежним: $5\sqrt{5}$.
Теряют коэффициент при вычитании.
$\sqrt{50}-\sqrt{8}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$, а не $\sqrt{2}$.
Раздел 7
Задачи для самостоятельного решения
Упростите: $4\sqrt{3}+2\sqrt{3}$.
Упростите: $\sqrt{12}+\sqrt{27}$.
Упростите: $\sqrt{80}-\sqrt{20}$.
Упростите: $\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8}$.
Упростите: $3\sqrt{28}-2\sqrt{7}$.
Упростите: $\sqrt{5}+\sqrt{7}$.
Упростите: $\sqrt{72}-\sqrt{50}-\sqrt{2}$.
Упростите: $\sqrt{45}+\sqrt{2}-\sqrt{20}$.
Показать ответы и разбор
1. $6\sqrt{3}$. Корни уже подобны: $4+2=6$.
2. $5\sqrt{3}$, потому что $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ и $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.
Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.